ей площіні и простору Лобачевського, тобто в знаходженні таких про єктів, в якіх реалізуваліся б відповіднім чином вітлумачені положення планіметрії и стереометрії геометрії Лобачевського. [1]
1.3 постулат паралельності Евкліда и Лобачевського
Основним пунктом, звідки почінається розділення геометрії на звічайна Евкліда (споживання) и не Евкліда (уявно геометрію або Пангеометрія ) являється, як известно, постулат про Паралельні Лінії.
У Основі звічайної геометрії лежить припущені, что через точку, что НЕ лежить на Цій прямій, можна провести в площіні, візначуваною цією точкою и прямо, не более за одну пряму, что НЕ перетінає Цю пряму.
Тієї факт, что через точку, что НЕ лежить на Цій прямій, проходити прінаймні одна пряма, что НЕ перетінає Цю пряму, відносіться до абсолютної геометрії raquo ;, тобто может буті доведень без допомоги постулату про Паралельні Лінії.
Пряма ВВ, что проходити через Р під прямим кутом до перпендикуляра РQ, опущеного на АА1, що не перетінає прямої АА1; ця пряма в геометрії Евкліда назівається паралельних до АА1.
У протілежність постулату Евкліда, Лобачевський пріймає в основу побудова Теорії паралельних ліній Наступний аксіому:
Через точку, что НЕ лежить на Цій прямій, можна провести в площіні, візначуваною цією точкою и прямою, более за одну пряму, что НЕ перетінає Цю пряму.
Звідсі безпосередно вітікає Існування нескінченно безлічі прямих, что проходять через одну и ту ж точку и не перетінають Цю пряму.
Нехай пряма СС1 НЕ перетінає АА1; тоді усі Прямі, что проходять усередіні двох вертикальних кутів ВРС и В1РС1, такоже НЕ перетінаються з пряму АА1.
2. Аналітична геометрія площини М. Лобачевського
.1 Основні поняття
У евклідової геометрії согласно п ятому постулату на площіні через точку ^ Р, что лежить поза прямоюА А, проходити только одна пряма В В, не яка перетінає А А. Пряма В У назівається паралелли до А А. При цьом й достатньо Вимагати, щоб таких прямих проходило не более однієї, так як Існування непересічних прямій может буті доведено путем послідовного проведення прямих PQA A и PBPQ. У геометрії Лобачевського Аксіома паралельності требует, щоб через точку Р проходило более однієї прямої, что НЕ перетінає А А.
Рис. 1
непересічних Прямі Заповнюють часть пучка З вершин ^ Р, что лежить Всередині парі вертикальних кутів TPU и U PT raquo ;, розташованіх симетрично относительно перпендикуляра PQ.Прямі, что утворюють Сторони вертикальних кутів, відокремлюють перетінають Прямі від непересічних и Самі є теж непересічні. ЦІ ГРАНИЧНІ Прямі назіваються Паралель в точці Р до прямоїА А відповідно в двох ее Напрямки: T Т паралельноА А в напрямку A A, a UU паралельно А А в напрямку А А laquo ;. Решта непересічних Прямі назіваються розбіжнімі прямо за А.
Ця залежність назівається функцією Лобачевського: П (a)=2 arctg, де до - Деяка константа, что візначає фіксований за величиною відрізок. Вона получила Назву радіусу кривизни простору Лобачевського. Подібно сферічної геометрії існує Нескінченна безліч просторів Лобачевського, что розрізняються величиною к.
Дві Різні Прямі по площіні утворюють пару одного з трьох тіпів.
пересічні Прямі. Відстань від точок одній прямій до Іншої прямої необмежено збільшується при відаленні точки від Перетин прямих. Если прямо не перпендікулярні, шкірну проектується ортогонально на іншу у Відкритий відрізок кінцевої величини.
Паралельні Прямі. На площіні через Дану точку проходити єдина пряма, паралельна даній прямій в завданні на Последний напрямку. Паралель в точці Р зберігає в Кожній своїй точці властівість буті паралелли тій же прямій в тому ж напрямку. Паралелізм володіє взаємністю (если а | | b в Певнев напрямку, то йb | | а у відповідному напрямку) i транзітівності (если а | | b и з | | b в одному напрямку, то а | | з у відповідному напрямку). У напрямку паралельності Паралельні необмежено збліжуються, в протилежних напрямку - необмежено віддаляються (в СЕНСІ відстані від перемещающейся точки одній прямій до Іншої прямої). Ортогональна Проекція однієї прямої на іншу є відкрітою полупрямой.
Суперечать Прямі. Смороду мают одна Спільний перпендикуляр, відрізок которого дает мінімальну відстань. За обідві Сторони від перпендикуляра Прямі необмежено розходяться. Кожна пряма проектується на іншу у Відкритий відрізок кінцевої величини.
Трьом типам прямих відповідають на площіні трьох тіпі пучків прямих, КОЖЕН з якіх покріває ...
