ння диму, метеосистеми і потоки на виході реактивних двигунів. У цих випадках один-єдиний фрактал відповідає моментального знімку даного феномена. Структури, що змінюються в часі, ми визначаємо як динамічні системи. Інтуїтивно зрозуміло, що динамічної протилежністю фрактала є хаос. Це означає, що хаос описує стан крайньої непередбачуваності, що виникає в динамічній системі, в той час як фрактальність описує крайню іррегулярностью або изрезанность, притаманну геометричної конфігурації.
Багато хаотичні динамічні системи, що описують феномени оточуючого нас світу, влаштовані дуже складно і не можуть бути представлені традиційними методами математичного аналізу. Мабуть, немає ніякої можливості отримати математичні вирази для рішень в замкнутому вигляді, навіть якщо використовувати нескінченні ряди або спеціальні функції. У таких випадках застосовуються моделі алгебраїчних фракталів.
Розглянемо знаменитий приклад, вельми наочно демонструє, що стоїть за терміном «хаотична динаміка». Едвард Лоренц з Массачусетського технологічного інституту в 1961 році займався чисельними дослідженнями метеосістем, зокрема моделюванням конвекційних струмів в атмосфері. Відповідно до опису експерименту, приналежному самому Лоренцу, він обчислював значення рішення протягом тривалого часу, а потім зупинив рахунок. Його зацікавила деяка особливість рішення, яка виникала де-?? о в середині інтервалу рахунки, і тому він повторив обчислення з цього моменту. Результати повторного рахунку, очевидно, збіглися б з результатами первинного рахунки, якби початкові значення для повторного рахунку в точності були рівні отриманим раніше значенням для цього моменту часу. Лоренц злегка змінив ці значення, зменшивши число вірних десяткових знаків. Помилки, введені таким чином, були вкрай невеликі. Знову перелічене рішення деякий час добре узгоджувалося зі старим. Однак у міру рахунки розбіжність зростала, і поступово стало ясно, що нове рішення зовсім не нагадує старе. Лоренц знову повторював і перевіряв обчислення (ймовірно, не довіряючи комп'ютера), перш ніж усвідомив важливість експерименту. Те, що він спостерігав, тепер називається суттєвою залежністю від початкових умов - основний рисою, притаманною хаотичної динаміці.
Істотну залежність іноді називають ефектом метелика. Таку назву відноситься до неможливості робити довгострокові прогнози погоди. Сам Лоренц роз'яснив це поняття у статті «Передбачуваність: чи може помах крилець метелика в Бразилії призвести до утворення торнадо в Техасі?», Опублікованій в 1979 році.
Алгебраїчні фрактали - це найбільша група фракталів. Отримують їх за допомогою нелінійних процесів в n-мірних просторах. Відомо, що нелінійні динамічні системи володіють декількома стійкими станами. Той стан, в якому опинилася динамічна система після деякого числа ітерацій (повторення однієї і тієї ж математичної процедури), залежить від її початкового стану. Тому кожне стійкий стан (аттрактор) володіє деякою областю початкових станів, з яких система обов'язково потрапить в аналізовані кінцеві стани. Несподіванкою для математиків стала можливість за допомогою примітивних алгоритмів породжувати дуже складні нетривіальні структури. Сам Бенуа Мандельброт запропонував модель алгебраїчного фрактала, яка вже стала класичною. Математичний опис моделі наступне: на комплексній площині в деякому інтервалі для кожної точки з обчислюється рекурсивна функція Z=Z2 + c. Після N повторень даної процедури обчислення координат точок, на комплексній площині з'являється напрочуд гарна фігура, яка чимось нагадує грушу (дод. 6, б).
Стохастичні фрактали
Ще одним відомим класом фракталів є стохастичні фрактали, які виходять у тому випадку, якщо в ітераційному процесі хаотично міняти будь-які його параметри. При цьому виходять об'єкти дуже схожі на природні - несиметричні дерева, порізані берегові лінії і т.д.
Крива Коха, як би не була схожа на кордон берега, не може виступати в якості її моделі через те, що вона всюди однакова, самоподобна, занадто «правильна». Всі природні об'єкти створюються за примхою природи, в цьому процесі завжди є випадковість. Фрактали, при побудові яких в итеративной системі випадковим чином змінюються будь-які параметри, називаються стохастичними. До цього класу фракталів відноситься і фрактальна монотипія, або стохатіпія. Термін «стохастичность» походить від грецького слова, що позначає «припущення».
Двовимірні стохастичні фрактали використовуються при моделюванні рельєфу місцевості і поверхні моря.
Існують і інші класифікації фракталів, наприклад поділ фракталів на детерміновані (алгебраїчні і геометричні) і недетермінірованние (стохастичні) [12].
3. Біологічні фрактали. Природні фрактали
фрактал топ...
