ції для розглянутої задачі будуються на базі варіаційного принципу у поєднанні з методом розщеплення [2 - 4]. При такому підході здійснення технологічно простий реалізації дискретної моделі на ЕОМ.
1.2 Параметризація
При вивченні різних явищ і процесів вводиться ряд понять, які характеризують розглядається явище або процес і можуть бути задані і визначені за допомогою чисел. Постановка будь-яких експериментів, результати яких представляються у вигляді сукупності чисел, що характеризують боку досліджуваного явища, може здійснюватися тільки на основі попереднього теоретичного аналізу. Для практики дуже важливо правильно вибрати безрозмірні параметри, що відбивають в найбільш зручній формі основні ефекти. Число їх повинна бути мінімальною. Можливість такого попереднього якісно-теоретичного аналізу і вибору системи визначальних безрозмірних параметрів дає теорія розмірності [6].
Розглянемо рівняння
Рівняння містить групу параметрів, що характеризують процес поширення домішки. До числа цих параметрів відносяться:
-швидкість в напрямку осі Ox;
-швидкість в напрямку осі Oz [ w ]=м/с;
-коефіцієнт горизонтальній дифузії;
-коефіцієнт вертикальної дифузії;
-коефіцієнт природного розпаду;
-Потужність джерела викиду;
-коордіната зосередженого джерела;
-коордіната зосередженого джерела;
-Концентрація домішки;
-;
-; ;
-;.
Приведенню до безрозмірного вигляду піддаються незалежні параметри, потім похідні. Завдання вважається вирішеним, якщо все безрозмірні параметри виражаються через вхідні.
Нехай деякі еталони довжини L , [ L ]=м, часу T , [ T ]= C і концентрації.
Тоді,,,,,.
Перетворимо рівняння
У цьому рівнянні всі складові безрозмірні. Вводячи позначення,,,, , рівняння дифузії можна представити
Встановленням зв'язків між розмірними параметрами є предметом теорії розмірностей.
2. Модельні приклади для одновимірного рівняння
Для вирішення диференціальних рівнянь параболічного типу існує кілька методів їх чисельного рішення на ЕОМ, однак особливе положення займає метод сіток, так як він забезпечує найкращі співвідношення швидкості, точності отриманого рішення і простоти реалізації обчислювального алгоритму. Метод сіток ще називають методом кінцевих різниць.
В якості модельного прикладу розглянемо одномірне лінійне рівняння переносу
де - концентрація речовини, k = const - швидкість перенесення , - функція, що описує джерело речовини.
Крайова задача має наступний вигляд:
(2.1)
Розглянемо кінцево-різницевий метод. Позначимо як Сформуємо на області сіткову область - сукупність вузлів на прямокутній сітці з кроками і.
Позначимо через і точне і наближене значення функції у вузлі.
Позначимо як - внутрішні вузли сітки, - прикордонні вузли.
Тоді диференціальне рівняння можна переписати наступним чином:
Будемо думати, що значення функцій і у вузлах аппроксимируются точно.
Таким чином, різницева схема для задачі (2.1) прийме вигляд
(2.2)
Завдання (2.2) апроксимує на рішеннях завдання (2.1) та порядок апроксимації - перший.
Розглянемо випадок одновимірного дифузійного процесу
де - концентрація речовини, k = const коефіцієнт дифузії - функція, що описує джерело речовини.
Крайова задача має наступний вигляд:
(2.3)
В області Відповідну сіткову область позначимо.
Явна різницева схема має вигляд
(2.4)
Різницева схема (2.4) апроксимує задачу (2.3) з похибкою першого порядку по і другого за. Стійкість різницевої схеми виконується при. Виходячи з порядку апроксимації та стійкості отримуємо, що явна різницева схема (2.4) сходиться до вирішення завдання (2.3).
Неявна різницева схема має вигляд
(2.5)
3. Методи рішення двовимірної задачі
Чисельне моделювання проблем розповсюдження забруднюючих речовин проводиться найчастіше на основі використання різницевих схем.
Запишемо поставлену в 1.1 задачу в операторном вигляді [4], т.е.
в області, де.
Тут
,
де в D при t =0.
Для вирішення цього завдання вводиться сіткова область. Щоб побудувати наближене рішення, необхід...
