удовані функції, як в колишніх версіях Mathcad. Перший шлях переважніше з міркувань наочності подання завдання і результатів, а другий дає користувачеві більше важелів впливу на параметри чисельного методу. Розглянемо послідовно обидва варіанти рішення.
Обчислювальний блок для вирішення одного ОДУ, який реалізує чисельний метод Рунге-кутти, складається з трьох частин:
Given - службове слово;
ОДУ і початкові умови , записане за допомогою логічних операторів, причому початкова умова має бути у формі: < i> y (t0)=b ;
Оdesolve (V, t, tmax, N) - вбудована функція для вирішення ОДУ щодо змінної t на інтервалі (t0, tmax), N- число кроків. Метод чисельних обчислень за яким працюватиме функція користувач може вибрати після клацання по імені функції: фіксований - метод Рунге-Кутта 4-го порядку з постійним кроком інтегрування , адаптивний - метод Рунге-Кутта 4-го порядку зі змінним кроком інтегрування або жорсткий - метод Радаус.
Альтернативний метод вирішення ОДУ перейшов з колишніх версій Mathcad. Він полягає у використанні однією з вбудованих функцій: rkfixed (vi, t min, t max, n, f), Rkadapt ( vi, t min, t max, n, f), Bulstoer (vi, t min, t max, n, f) і ін. Аргументи функцій однакові: vi - вектор початкових значень, t min - початкове значення поточної змінної, t mах - кінцеве значення поточної змінної, n - число кроків, на які розбитий інтервал t mах - t min, f - символьний вектор правих частин рівнянь системи. Цей спосіб дещо програє першому і в простоті, і в наочності Тому переважніше обчислювальний блок Given/odesoive.
Так само для знаходження чисельного рішення диференціального рівняння можна скористатися алгоритмом Ейлера .
Застосуємо алгоритмом Ейлера для вирішення даного завдання.
Алгоритмом Ейлера.
Метод чисельного рішення диф. рівнянь включає в себе перетворення диференціального рівняння в рівняння конечноразностного. Оскільки рівняння:
(1)
описує зміну величини u (t), то з відомим ступенем точності можна записати
,
де, а D t - кінцевий інтервал, тобто (2). З урахуванням цього з рівняння (1) отримаємо:
(3)
Це і є конечноразностного рівняння, відповідне диференціальному рівнянню (1). У першому наближенні передбачається, що права частина рівняння (1), тобто швидкість зміни u постійна на відрізку D t . Це метод дотичних або метод Ейлера. Цілком очевидно, що даний метод буде давати хороше наближення, якщо D t досить мало.
При вирішенні такого типу завдань часто стикаються з необхідністю визначити вплив на отримане рішення якого або мінливого параметра. Для цього необхідно задати вектор, відповідний зміни параметра і розраховувати вже набір векторів рішення, тобто матрицю рішення. Принцип реалізації таких обчислень наведено нижче в MathCad програмою. У якій представлено вплив параметра h (коефіцієнт теплообміну) на зміну температури жала паяльника з урахуванням втрат тепла на випромінювання.
. Рішення завдання в середовищі MathCAD
Значення констант:
У середовищі MathCAD програма має вигляд:
кількість кроків інтегрування.
- вектор початкових умов.
рішення системи рівнянь методом Ейлера.
Графік зміни температури жала паяльника
паяльник випромінювання жало
На графіку наведено три залежності температури жала паяльника, відповідні трьом значенням параметра h (коефіцієнта теплопровідності) . Зменшення h призводить до збільшення температури жала паяльника.
Висновок
У процесі виконання даної роботи ми досліджували розігрів жала паяльника з урахуванням втрат тепла на випромінювання, а так само визначили вплив параметра h (коефіцієнта теплообміну) на розігрів жала. За допомогою графіка і програми вирішення завдання, ми змогли проаналізувати зміну температури жала паяльника. За допомогою даної програми ми зможемо спостерігати зміну температури жала паяльника з урахуванням зміни значень констант, що ми й продемонстрували на графіці.
