форму:
(5)
де Q - кількість тепла, викликаного за проміжок часу (t1, t2) через перетин х. Якщо стрижень неоднорідний, то k є функцією від х.
. Кількість тепла, яке необхідно повідомити однорідному тілу, щоб підвищити його температуру на? U, одно:
(6)
де с - питома теплоємність, m - маса тіла,?- Його щільність, V - об'єм.
Якщо зміна температури має різну величину на різних ділянках стрижня або якщо стрижень неоднорідний, то:
(7)
. Усередині стрижня може виникати або поглинатися тепло (наприклад, при проходженні струму, внаслідок хімічної реакції і т.д.). Виділення тепла може бути вкрито щільністю теплових джерел F (x, t) в точці х в момент t1). У результаті дії цих джерел на ділянці стержня (х, х + dx) за проміжок часу (t, t + dt) виділиться кількість тепла:
(8)
або в інтегральній формі:
(9)
де Q - кількість тепла, що виділяється на ділянці стержня (х1, х2) за проміжок часу (t1, t2).
Рівняння теплопровідності виходить при підрахунку балансу тепла на деякому відрізку (х1, х2) за деякий проміжок часу (t1, t2). Застосовуючи закон збереження енергії і користуючись формулами (5), (7) і (9), можна написати рівність:
(10)
яке представляє рівняння теплопровідності в інтегральній формі.
Щоб отримати рівняння теплопровідності в диференціальної формі, припустимо, що функція u (x, t) має безперервні похідні uxx і ut2).
Користуючись теоремою про середню, отримуємо рівність:
(11)
яке за допомогою теореми про кінцевих збільшеннях можна перетворити до вигляду:
(12)
де t3, t4, t5 і х3, х4, х5 - проміжні точки інтервалів (t1, t2) і (х1, х2).
Звідси, після скорочення на твір? x? t, знаходимо:
(13)
Всі ці міркування відносяться до довільних проміжкам (х1, х2) і (t1, t2). Переходячи до приділу при х1, х2? Х і t1, t2? T, одержимо рівняння:
(14)
зване рівнянням теплопровідності .
Розглянемо деякі окремі випадки.
. Якщо стрижень однорідний, то k, c,? можна вважати постійними, і рівняння зазвичай записують у вигляді:
де - постійна, звана коефіцієнтом температуропровідності. Якщо джерела відсутні, тобто
то рівняння теплопровідності приймає простий вигляд:
(14?)
. Щільність теплових джерел може залежати від температури. У разі теплообміну з навколишнім середовищем, що підкоряється законом Ньютона , кількість тепла, теряемого стрижнем, розраховане на одиницю довжини і часу, одно:
де - температура навколишнього середовища, h - коефіцієнт теплообміну. Таким чином, щільність теплових джерел в точці x в момент часу t дорівнює:
(15)
де - щільність інших джерел тепла.
Якщо стрижень однорідний, то рівняння теплопровідності з боковим теплообміном має наступний вигляд:
де - відома функція.
Перепишемо останнє рівняння в більш звичному для нас вигляді:
(16)
Будемо вважати, що температура жала не залежить від координати х, тоді рівняння (16) прийме вигляд:
(16?)
Так як,
то рівняння буде мати вигляд:
Перетворюючи дане рівняння отримаємо:
(17)
З урахуванням, що: і втрат тепла на випромінювання, рівняння (17) прийме вигляд:
Дане диференціальне рівняння вирішимо за допомогою програми MathCAD . Для вирішення диференціальних рівнянь програма MathCAD містить ряд функцій таких як: rkfixed , rkadapt, оdesolve і алгоритм Ейлера.
. Засоби середовища MathCAD для моделювання розігріву жала паяльника з урахуванням втрат тепла на випромінювання
Велика кількість завдань зводиться до вирішення диференціальних рівнянь, проте, лише невелика частина їх може бути вирішена аналітично. У зв'язку з цим значно зростає роль чисельного рішення диференціальних рівнянь.
Диференційним називається рівняння щодо невідомої функції і її похідних різних порядків.
Навіть у тому випадку, коли аналітичне рішення даного рівняння все ж існує, необхідно представити рішення в графічному вигляді, щоб зрозуміти його характер. У зв'язку з цим, необхідно знайти чисельне рішення рівняння.
Для чисельного інтегрування одного ОДУ у користувача Mathcad 11 (починаючи з версії Mathcad +2000 Pro) є вибір-небудь використовувати обчислювальний блок Given/odesoive, або вб...
