n ГЋN. Тоді p> 31 54 n = 54 b , b = 31n. p> Звідси a + b = 54 n + 31 n = 85 n , а отже, число a < i> + b є складовим.
5.20. Натуральні числа a і b задовольняють умові 15 a = 32 b . Чи може число a - b бути простим? Якщо може - побудуйте приклад; якщо не може - доведіть.
5.21. Назвіть всі натуральні n , при яких число n 4 + 4-складене.
Рішення.
Спробуємо розкласти вираз n 4 + 4 на множники з цілими коефіцієнтами. Ми звикли до того, що сума квадратів на множники з цілими коефіцієнтами НЕ розкладається. У даному випадку це робиться за допомогою прийому В«плюс - мінусВ» наступним чином:
n 4 + 4 = ( n 4 + 4 + 4 n 2 ) - 4 n 2 = ( n 2 + 2) < sup> 2 - 4 n 2 = ( n 2 + 2 n + 2) ( n 2 - 2 n + 2).
Очевидно, множник n 2 + 2 n + 2 завжди більше 1. Другий множник n 2 - 2 n + 2 може бути рівним 1:
n 2 - 2 n + 2 = 1, n 2 - 2 n + 1 = 0, ( n - 1) 2 = 0, n = 1. p> Так як при n = 1 множник n 2 + 2 n + 2 приймає значення 5, що є простим числом, то значення n = 1 потрібно відкинути. p> Відповідь: усі n не рівні 1.
5.22. Доведіть, що будь-яке число виду а = 101010 ... 101 ( n нулів, n + +1 одиниця, де n > 1) - складене.
Рішення.
Перетворимо число а , враховуючи, що всього у нього 2 n + 1 цифр, а отже, перша одиниця - розряду 2 n :
a = 101010 ... 101 = 10 2n + 10 2n-2 + 10 2n-4 + ... + 10 2 + 1 =
= (1/(10 2 -1)) (10 2 - 1) (10 2n + 10 2n-2 + ... +10 2 +1) =
= (1/99) (10 2n +2 ​​ -1) = (1/99) ((10 n +1 ) 2 - 1) = (1/99) (10 n +1 +1) (10 n +1 -1). p> Тепер розглянемо два випадки.
1) Нехай n парне.
Тоді сума 10 n +1 +1 ділиться на 11, причому частка від такого поділу більше 1, так як 10 n +1 +1> 11; різниця 10 n +1 -1 ділиться на 9, причому приватна також більше 1, так як 10 n +1 +1> 11; різниця 10 n +1 -1 ділиться на 9, причому приватна також більше 1. Вийшло складене число
