актеризує центр ваги контактного тиску на оболонку кристалізатора.
Рис. 1.3. Схема для розрахунку вигину оболонки злитка у площині його поперечного перерізу
Тут і далі формули для розрахунку вигину оболонки заготовки, виходячи з симетрії завдання, представлені для значень х? 0.
Позначимо швидкість зміни кривизни даної балки через? =Dk/dt, і k=1/?, де?- Радіус кривизни синусоїдальної поверхні. Один з варіантів моделі вигину нелінійно-в'язкопружного балки дозволяє представити швидкість зміни кривизни як суму пружною і вузький складової
, (1.3)
де в межах пружності при використанні середнього по поперечному перерізі модуля пружності E, пружна складова швидкості кривизни запишеться у вигляді
, (1.4)
,
де hs - поточна товщина скоринки злитка одиничної ширини.
При вигині поперечної смужки скоринки злитка при розпрямленні профілю залежність між вузький складової швидкості кривизни смужки і моментом М в поперечному перерізі скоринки можна записати як
,
де m - експериментальна постійна, використовувана для опису статечної залежності між швидкістю деформації і напругою при повзучості.
Наведена згинальна жорсткість D при повзучості обчислюється таким чином
,
де - поточна товщина скоринки злитка, у - координата перпендикулярна грані. Тут використана наступна апроксимація для деформації по?? зучесті від температури і напруги вираження швидкості
,
де Ас - експериментально визначається функція, яка описує залежність швидкості деформації від напруги в залежності від температури оболонки злитка.
Координата нейтральної лінії визначається з рішення наступного рівняння
У розглянутий момент часу форма вигину оболонки злитка визначається наступними співвідношеннями:
Кут повороту елемента оболонки -
Відхилення від прямолінійної форми поперечного перерізу -
(x)=-f (a) + f (x),
де
.
Для розрахунку зміни параметрів деформованого стану оболонки злитка в часі використовувалася явна крокова схема з автоматичним вибором часового кроку з умов стійкості обчислювального процесу. Кривизна на «n-ом» часовому кроці розраховувалася за відомим напружено-деформований стан на попередньому «n - 1» кроці
Математична модель температурного стану заготовки в кристалізаторі.
Відмінна особливість кристаллизующихся металевих матеріалів полягає в наявності двофазної зони, яка являє собою тверді кристаліти і рідку прошарок. Для вирішення чисельної задачі затвердіння і температурного стану заготовки в кристалізаторі з урахуванням наявності двофазної зони і виділення тепла кристалізації вводиться функція джерела тепла в рівняння нестаціонарної теплопровідності.
, (1.5)
де ср - теплоємність,?- Щільність матеріалу,?- Коефіцієнт теплопровідності, QSL - функція, що характеризує просторово розподілений джерело тепла фазового переходу. Функція QSL прямо пропорційна швидкості затвердіння розплаву і залежить від властивостей сплаву (зокрема від питомої теплоти фазового переходу L * та інтервалу кристалізації). Для того щоб висловити QSL кількісно, ??зазвичай вводиться в розгляд відносна кількість твердої фази в деякому елементарному об'ємі розплаву в межах двофазної зоні. Тоді
. (1.6)
Параметр для рідкої фази дорівнює нулю, для повністю затверділої частині злитка дорівнює одиниці і для двофазної зони змінюється від нуля до одиниці. Процес затвердіння розглядаємо в рівноважної постановці (тобто вважати, що дифузійні процеси в елементарному об'ємі матеріалу встигають пройти досить повно за час фазового переходу в цьому обсязі). Рівноважна модель затвердіння злитка дозволяє з достатньою точністю досліджувати кінетику поля температур при промислових швидкостях безперервного розливання.
Чисельне рішення рівняння теплопровідності було виконано при наступних початкових і граничних умовах. В якості початкової умови в околиці менісковою поверхні в момент часу t=0 приймемо для всієї розрахункової області
, (1.7)
де Тн - початкова температура заливки металу в кристалізатор.
В якості граничного умови на поверхні заготовки приймемо рівняння, що відображає теплообмін між заготівлею та стінками кристалізатора
, (1.8)
де п - нормаль до поверхні заготовки, Тс - температура навколишнього середовища,?- Коефіцієнт тепловіддачі, що враховує відносні кількісні вклади теплової провідності міжконтактного середовища при можливому утворенні зазору між поверхнею заготовки і стінками кристалізатора і теплової провідності через місця фізичного контакту. Методика чисельного рішенн...
