Рівняння поперечних коливань пластини, що враховує вплив інерції обертання і деформації поперечного зсуву має вигляд [4]
. (1.2.1)
Тут - вигин серединної поверхні пластини, - навантаження, яке діє на верхню поверхню пластини, - напруги під пластиною, - жорсткість пластини, - товщина пластини, - модуль зсуву, - коефіцієнт Пуассона пластини, коефіцієнт.
З рівняння (1.2.1) як окремий випадок втекти рівняння коливань пластини з урахуванням зсуву
.
Іншим окремим випадком є ??рівняння поперечних коливань пластини з урахуванням моменту інерції
.
Представлені моделі є зручними при вирішенні багатьох статичних та динамічних задач, одержувані при цьому результати володіють достатньою точністю для практичних додатків.
2. Постановка завдання
Розглядається плоска задача про усталені коливання пружної смуги з покриттям. Коливання передбачаються гармонійними усталеними з частотою. Вісь введеної декартової системи координат збігається з верхньою межею смуги (малюнок 1).
Малюнок 1 - Пружна смуга з покриттям
Передбачається, що матеріали покриття і підкладки є лінійними однорідними і ізотропним.
. 1 Завдання для покриття
В якості покриття розглядається деформируемая пластина з усередненими по товщині параметрами, вертикальні коливання якій описується диференціальним рівнянням
(2.1.1)
де h - товщина покриття, - відповідно модуль зсуву і коефіцієнт Пуассона, - прогин серединної поверхні, - напруга під пластиною, описує зовнішні впливи на верхню поверхню пластини.
При цьому задані наступні граничні умови й умови сполучення пластини і пружною підкладки:
,
.
Далі розглядаємо усталений (з частотою) режим коливань, т.е.
,
,
.
Надалі, в силу лінійності завдання, експонентний множник можна опустити. При цьому рівняння (2.1.1) прийме вигляд
(2.1.2)
Тут використано позначення.
. 2 Завдання для пружної смуги
У изотропном випадку, коли пружні властивості тіла однакові у всіх напрямках, закон Гука виражається тільки через дві незалежні константи Ляме -.
Для сталих гармонійних коливань інерційний член в (1.1.2) приймає вид -. Тоді рівняння Ляме для пружної смуги запишеться у вигляді
.
Або в покомпонентної записи
, (2.2.1)
. (2.2.2)
Надалі передбачається, що об'ємні сили відсутні, тобто. Таким чином, для плоскої задачі рівняння Ляме для пружної смуги приймуть вигляд
,
де - вектор переміщення шару.
У розглянутій задачі смуга жорстко скріплена з нешаткою підставою, тобто на нижньому підставі переміщення дорівнюють нулю
. (2.2.3)
Напруга на кордоні покриття при в розглянутій задачі описуються вектором напруг
. (2.2.4)
На нескінченності потрібне виконання умов:
при,
і умов випромінювання. В якості умови і?? лучения обрано принцип граничного поглинання [5,6], коли в якості рішення задачі для ідеально пружного середовища береться рівномірний межа рішення відповідної задачі для в'язкопружного середовища (середовища з поглинанням) при прагненні в'язкості до нуля.
Отже, щодо невідомих переміщень маємо крайову задачу (2.2.1) - (2.2.4).
3. Застосування інтегрального перетворення Фур'є до вирішення завдання для смуги з покриттям
. 1 Визначення та властивості перетворення Фур'є
Для вирішення різних фізичних і технічних проблем широко застосовуються аналітичні методи дослідження, зокрема методи інтегрування диференціальних рівнянь, що описують той чи інший процес. Інтегральні перетворення займають дуже важливе місце в арсеналі сучасних методів розв'язання задач математичної фізики.
Якщо функція, визначена на, то її трансформанта Фур'є визначається за формулою
. (3.1.1)
Ядро може мати вигляд, але це не принципово.
Комплексне перетворення Фур'є існує далеко не для всіх функцій. Очевидно, для існування перетворення Фур'є для функції необхідно, щоб вона була визначена на всій числовій осі і.
Якщо для функції існує перетворення Фур'є (3.1.1), то звернення його можна визначити як
. (3.1.2)
Перетворення Фур'є має такі властивості [7]:
а)
б)
в)
