ирішення рівняння Лейбензона є лінеаризація, т. е. зведення його до лінійного рівняння Фур'є. Як покажемо при подальшому розгляді, в деяких практичних випадках використання різних способів лінеаризації рівняння (6) дозволяє отримувати наближені рішення, що задовольняють вимогам практики.
2.2 Висновок диференціального рівняння несталої фільтрації досконалого газу по двучленного закону
Будемо вважати пласт нешаткою, фільтрацію ізотермічної і відбувається по двучленного закону. Розглянемо плоскорадіальний потік до осесрмметрічно розташованої свердловині.
Скористаємося рівнянням нерозривності для плоскорадіального руху
. (10)
Скориставшись виразом для масової швидкості, получімінеар
(11)
(12)
Підставивши вирази (11), (12) і (5) в рівняння нерозривності (10) і скоротивши на, отримаємо
(13)
Де
Якщо зробити заміну, то диференціальне рівняння
несталої фільтрації газу по двучленного законом прийме наступний вигляд
(14)
Аналітичне рішення рівняння (14) наштовхується на значні труднощі, однак чисельне рішення для звичайних в підземній гідромеханіці початкових і граничних умов не представляє утруднень.
3. Лінеаризація рівняння Лейбензона і основне рішення лінеаризованого рівняння
Якщо замінити нелінійне диференціальне рівняння (8) лінійним, тобто линеаризовать його, то воно спроститься - для лінійного рівняння існують точні аналітичні рішення. Ясно, що ці точні рішення лінеаризованого рівняння будуть наближеними для нелінійного. Оцінити похибка рішення, яка виникає при заміні точного рівняння лінеаризоване, можна, наприклад, порівнюючи наближене рішення з рішенням на ЕОМ точного рівняння.
Були запропоновані різні способи лінеаризації рівняння (8). Якщо розглядається плоскорадіальний приплив до свердловини, то з теорії усталеною фільтрації газу, воронка депресії дуже крута, і в більшій частині пласта тиск мало відрізняється о?? контурного. На цій підставі Лейбензон запропонував замінити змінний тиск р в коефіцієнті рівняння (8) на постійний тиск рівне початкового тиску в пласті. Тоді, позначивши, отримаємо замість рівняння (8) рівняння
(15)
яке є лінійним рівнянням пьезопроводності щодо функції р2 де - константа, аналогічна коефіцієнту пьезопроводності. Такий спосіб лінеаризації, коли змінний коефіцієнт і в рівнянні (15) при різних значеннях тиску приймається константою, називається лінеаризацією по Лейбензон. Надалі різними авторами були запропоновані уточнення до лінеаризації по Лейбензон. Так, І. А. Чарний запропонував звести рівняння (8) до лінійного заміною змінного тиску в коефіцієнті на значення
де - максимальне і мінімальне тиску в газовій поклади на розрахунковий період.
Використовуємо лінеаризоване рівняння (15) для вирішення конкретного завдання про приплив газу в свердловину нескінченно малого радіусу (точковий стік), розташовану в пласті нескінченної протяжності з постійною товщиною h. У початковий момент часу пласт невозмущен, т. Е. Тиск у всьому пласті постійно і дорівнює р2. З цього моменту починається відбір газу з постійним дебітом Qат. Потрібно знайти зміна тиску по пласту з плином часу p (r, t).
Для плоскорадіальной фільтрації газу (15) запишеться наступним чином
(16)
Тут вираз являє собою оператор Лапласа
в полярних координатах щодо квадрата тиску для плоско-радіального руху.
Рівняння (16) треба проінтегрувати при початковому умови
при t=0,. (17)
і при граничному умови у віддалених точках при t gt; 0,.
Виведемо умова для тиску на вибої свердловини. Для цього запишемо вираз для масового дебіту виходячи із закону Дарсі в диференціальної формі для плоскорадіальной фільтрації:
Використавши рівності
і скоротивши на, отримаємо:
З цього співвідношення висловимо умова на стінці газової свердловини нескінченно малого радіусу:
при r=0
Рішенням поставленого завдання для пружної рідини є основна формула пружного режиму:
(20)
...
