даючи x значення z , отримуємо r (z)=0 ; z - корінь многочлена r (x) з раціональними коефіцієнтами ступеня, меншою ніж у мінімального для z многочлена, тобто меншою ніж ступінь z . Це може бути тільки якщо r (x) тотожно дорівнює нулю, а значить F (x)=f ( x ) g ( x ). Теорема доведена.
Теорема 2 [1, стор. 261]: Для будь-якого алгебраїчного числа z мінімальний багаточлен неприводим над полем раціональних чисел.
Доказ : Нехай f ( x ) - мінімальний багаточлен для < i> z . Припустимо, що f ( x ) наводимо над полем раціональних чисел, тобто, що f ( x ) = w ( x ) j ( x ), w ( x ) j ( x ) - багаточлени з раціональними коефіцієнтами, ступеня меншою, ніж n .
З рівності w ( x ) j ( x ) =f ( x ) =0 випливає, що з двох чисел w ( x ) і j ( x ), принаймні одне одно нулю. Нехай наприклад w ( x ) =0 , тоді z - корінь тотожно не дорівнює нулю багаточлена w (x) з раціональними коефіцієнтами, ступеня меншою, ніж n, тобто меншою ніж у f ( x ). А це суперечить тому, що f ( x ) - мінімальний багаточлен для z . Припущення, що f ( x ) наводимо над полем раціональних чисел, виявилося невірним, тобто f ( x ) неприводим над цим полем. Теорема доведена.
Теорема 3 [1, стор. 261]: Якщо z корінь приводиться над полем раціональних чисел багаточлена F ( x ) з раціональними коефіцієнтами ступеня n , то z - алгебраїчне число ступеня n .
Доказ : Позначимо мінімальний багаточлен для z через f ( x ). Згідно теореми 1: F ( x ) =f ( x ) g ( x ); де g ( x ) - многочлен з раціональними коефіцієнтами. Оскільки F ( x ) неприводим над полем раціональних чисел і f ( x ) відмінно від постійного, то g ( x ) =c , де c - раціонально. F (x)=cf ( x ), тобто z - алгебраїчне число n -й ступеня. Теорема доведена.
Приклад:
Нехай p - просте число.
при будь-якому простому цілому a (a gt; 1) , що не дорівнює p -ой ступеня іншого цілого, є алгебраїчне число ступеня < i> p . Дійсно це число є корінь приводиться над полем раціональних чисел багаточлена.
x p -a=0
Якщо z - алгебраїчне число ступеня n і f (x) - мінімальний багаточлен для z , то всі корені z 1 , z 2 , ... z n рівняння f (x)=0 , відмінні від z , називають зв'язаним з z .
Один з коренів збігається з z , будемо ставити його на перше місце, тобто z=z 1 .
2.2 Поле алгебраїчних чисел
Теорема 4 [1, стор. 264]: Безліч всіх дійсних алгебраїчних чисел являє собою поле, тобто сума, різниця, добуток і частку двох чисел алгебри a і b (для приватного при b? 0 ) є алгебраїчними числами.
Доказ : Нехай a - корінь многочлена f ( x ) ступеня n з цілими коефіцієнтами, корені якого a 1 , a 2 , ..., a n , a і b - корінь многочлена j (x) ступеня m з цілими коефіцієнтами, корені якого b 1 , b 2 , ... b m ( b = b 1 ). Розглянемо многочлен:
F (x)= (x - (ai+bi))=(x-a1-b1) (x - a 1 - b 2 ) ... (x - a 1 - b m < i>)
(x - a 2 - b 1 ) (x - a 2 - b 2 ) ... (x - a 2 - b m )
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
(x - a n - b 1 ) (x - a n - b 2 ) ... (x -...
