a n - b m ) (2)
(x) - симетричний многочлен по відношенню b 1 , b 2 , ... b m . В цілому F (x) - симетричний многочлен від двох систем аргументів: a 1 , a 2 , ..., a n і b 1 , b 2 , ... b m .
Згідно з відомими теоремам про симетричні многочленів, коефіцієнти многочлена F (x) можуть бути виражені раціонально через елементарні симметрические функції від a 1 , a 2 , ..., a n і < i> b 1 , b 2 , ... b m , тобто через цілі коефіцієнти, f (x) і j (x). Це означає, що коефіцієнти F (x) раціональні, і, отже, число a + b = a 1 + b 1 , яке є, як це випливає з формули (2), коренем F (x ) , є алгебраїчне число.
Для доказу того, що добуток двох чисел алгебри a і b є алгебраїчне число, досить, аналогічно тому, як це було тільки що зроблено для многочлена (2), розглянути многочлен:
F (x)= ( x - a i b < i> i ) (3)
Цей багаточлен має в якості одного зі своїх коренів a 1 b 1 = ab .
Нехай b - корінь многочлена j (x)=b 0 x n + b 1 x n - 1 + ... b n , ( b i - цілі числа). Тоді - b є коренем многочлена з цілими коефіцієнтами j ( -x ) = ( - 1 ) n b 0 x n + ( - 1 ) n - 1 b 1 x n - 1 + ... b n , а при b? 0 корінь многочлена x n j () =b 0 + b < i> 1 x + ... b n x n . Таким чином, разом з b алгебраїчними числами є - b і .
Різниця може бути представлена ??у вигляді a + ( - b ) , тобто у вигляді суми двох алгебраїчних чисел. При b? 0 приватне, будучи твором двох алгебраїчних чисел, являє собою так само алгебраїчне число.
Якщо ступеня алгебраїчних чисел a і b рівні m і n , то, взявши в якості f ( x ) і j ( x ) відповідні мінімальні багаточлени будемо в (2) і (3) мати багаточлени ступеня mn , і ab алгебраїчні числа ступеня, не більшої, ніж mn . Багаточлени j ( x ), j ( -x ), і x < i> n однаковою мірою, а, отже, b , - b , - алгебраїчні числа однієї і тієї ж ступеня, звідки випливає, що і a - b і мають ступені не більше, ніж mn . Теорема доведена.
Приклад:
1) і алгебраїчні числа 2 -й ступеня, а - число алгебри 4 ступеня. Дійсно, якщо a =, то a 2 =5 + , 2 < i> 4 - 10 a 2 + 1=0 , тобто a корінь багаточлена f (x)=x 4 - 10x 2 +1 з цілими коефіцієнтами, і
(x)= ( x - ) ( x - ) ( x + ) ( x + ) (4)
З теореми єдиності над полем раціональних чисел множники f ( x ) повинні бути твором якихось множників правій частині рівності (4). Легко бачити, що з цих множників не можна скласти багаточлен з раціональними коефіцієнтами ступеня меншою, ніж 4, тобто f ( x ) - непріводімий над полем раціональних чисел многочлен, а, отже, згідно теоремі 3, - алгебраїчне число 4-го ступеня.
) a =і b =, як легко бачити, це алгебраїчні числа 6-го ступеня, а твір ab = - алгебраїчне число третього ступеня.
.3 Раціональні наближення алгебраїчних чисел
Алгебраїчні числа не можуть мати занадто хороших раціональних наближень: похибка при заміні алгебраического числа раціональної дробом не може бути досить мала по порядку в порівнянні з величиною, зворотною знаменника раціональної дробу.
Для алгебраїчного числа 1-го ступеня існує постійна c gt; 0, така, що для будь раціональної дробу, відмінної від a , буде виконуватися нер...
