Коріння знаменника дійсні і різні, т. е.
(x)=(x-a) (x-b) ... (x-d).
У цьому випадку дріб розкладається на найпростіші дроби 1тіпа:
і тоді
. Випадок.
Коріння знаменника дійсні, причому деякі з них кратні:
У цьому випадку дріб розкладається на найпростіші дроби 1и 2 типів.
Приклад 1.
. Випадок.
Серед коренів знаменника є комплексні неповторювані (т.е. різні):
У цьому випадку дріб розкладається на найпростіші дроби 1,2 і 3 типів.
Приклад 2. Необхідно застосовувати обчислити інтеграл
.
Розкладемо подинтегральную дріб на найпростіші:
Отже,
.
Вважаючи х=1, отримаємо 1=2С, С=Ѕ; вважаючи х=0, отримаємо 0=-B + C, B=1/2.
Прирівнюючи коефіцієнти при, отримаємо 0=А + С, звідки А=- Ѕ. Таким чином,
. Випадок.
Серед коренів знаменника є комплексні кратні:
У цьому випадку розкладання дробу буде містити і найпростіші дроби 4 типу.
Приклад 3. Потрібно обчислити інтеграл
.
Рішення. Розкладаємо дріб на найпростіші:
звідки
Комбінуючи зазначені вище методи визначення коефіцієнтів, знаходимо А=1, В=- 1, С=0, D=0, Е=1.
Таким чином, отримуємо
З усього викладеного випливає, що інтеграл від будь раціональної функції може бути виражений через елементарні функції в кінцевому вигляді, а саме:
1) через логаріфми- у випадках найпростіших дробів 1 типу;
2) через раціональні функції- у разі найпростіших дробів 2 типу
) через логарифми і арктангенси- у разі найпростіших дробів 3 типу
) через раціональні функції і арктангенси- у разі найпростіших дробів 4 типу.
ВИСНОВОК
Виникнення завдань інтегрального числення пов'язане із знаходженням площ і обсягів. Ряд завдань такого роду було вирішене математиками стародавньої Греції. Антична математика передбачила ідеї інтегрального числення в значно більшому ступені, ніж диференціального числення. Велику роль при вирішенні таких завдань грав вичерпний метод, створений Евдоксом Кнідським (бл. 408 - бл. 355 до н. Е.) І широко застосовувався Архімедом (бл. 287 - 212 до н. Е.).
Праці Архімеда, вперше видані в 1544 (латинською і грецькою мовами), стали привертати широку увагу, і їх вивчення стало одним з найважливіших відправних пунктів розвитку інтегрального числення. Архімед передбачив багато ідей інтегрального числення. Але знадобилося понад півтори тисячі років, перш ніж ці ідеї знайшли чітке вираження і були доведені до рівня обчислення.
Однак при всій значимості результатів, отриманих математиками XVII століття, обчислення ще не було. Необхідно було виділити загальні ідеї, що лежать в основі рішення багатьох приватних завдань, а також встановити зв'язок операцій диференціювання і інтегрування, що дає досить точний алгоритм. Це зробили Ньютон і Лейбніц, відкрили незалежно один від одного факт, відомий вам під назвою формули Ньютона - Лейбніца. Тим самим остаточно оформився загальний метод. Попереду було ще навчитися знаходити первісні багатьох функцій, дати логічні основи нового обчислення і т. П. Але головне вже було зроблено: диференціальне та інтегральне числення створено.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Баврін, І.І. Вища математика: підручник/І.І. Баврін.- М .: Академія, 2003. - 616 с.: Ил.
2. Вигодський, М.Я. Довідник з вищої математики/М.Я. Вигодський.- М .: Наука, 1972. - 872 с.: Ил.
. Вигодський, М.Я. Довідник з елементарної математики/М.Я. Вигодський.- СПб .: Изд. «Санкт-Петербург оркестр", 1994. - 416 с.: Ил.
4. Варшавський І. К. «Ірраціональні рівняння»
5. Венцель Е.С., Овчаров А.А, «Теорія випадкових процесів і її інженерне додаток» 1991 Москва
. Іванов А.А. «Курс лекцій з математики»
. Ільїн В.А., Позняк Е.Г. «Основи математичного аналізу» 1982р Москва. частина I
. Кальницький Л.А «Спеціальний курс вищої математики для втузів» 1976
. Кудрявцев «Короткий курс математичного аналізу»
. Кузнею Д.А. «Збірник задач з вищої математики» 1983 Москва
. Ларін А.А. «Курс вищої математики» частина 2
. Піскунов Н.С. «Диференціальне та інтегральне числення» 1 985 м.Москва I том
. Фіхтенгольц Г.М. «Курс диференціального й інтеграль...
