начення функцій в x0=0.4; y0=- 0.75:
F (0,4; - 0,75)=0,11978 (0,4; - 0,75)=- 0,02825
де; ;
Ітераційні формули:
,
Всі обчислення виробляємо в таблиці.
nxn0.8xn22xn-ynsin (2xn-yn) F (xn, yn) detWdetW1? xyn1.5yn2cos (2xn-yn) G (xn, yn) detW2?y00,4000,12801,550,999780,11978-1,15841-0,020792,61970,27010,1031-0,7500,843750,02079-0,028250,64000-2,250000,043940,0167710,50310,202491,739430,98581-0,01791-1,535680,167843,2429-0,0379-0,0117-0,73320,80644-0,16780,008930,80496-2,19969-0,0007-0,000220,49140,193191,716280,98944-0,00026-1,489940,144973,164-0,0006-0,0002-0,73340,80692-0,14490,000110,78627-2,20034-0,00005-0,00001
Так як? lt;?, то можна припинити робити обчислення. Таким чином, відповідь:
2.3 Метод спуску
Загальний недолік всіх розглянутих раніше методів розв'язання систем нелінійних рівнянь полягає в локальному характері збіжності, ускладнює їх застосування у випадках (досить типових), коли існують проблеми з вибором початкового наближення, що забезпечує збіжність ітераційної обчислювальної процедури. B цих випадках можна використовувати чисельні методи оптимізації. Для використання наочної геометричної інтерпретації приводяться нижче міркувань і їх результатів обмежимося розглядом системи, що складається з двох рівнянь з двома невідомими
З функцій f (x, y), g (x, y) системи утворюємо нову функцію
Так як ця функція не негативними, то знайдеться точка (взагалі кажучи, не єдина) така, що
Просторова інтерпретація методу найшвидшого спуску для функції:
Рис. 5
Траєкторія найшвидшого спуску для функції в площині ХОУ
Рис. 6
Отже, якщо тим чи іншим способом вдається отримати точку, минимизирующую функцію Ф (x, y), і якщо при цьому виявиться, що, то точка - справжнє вирішення системи, оскільки
Послідовність точок - наближень до точки мінімуму функції Ф (х, у) - зазвичай отримують за рекурентних формулою
де, - вектор, який визначає напрямок мінімізації, а - скалярна величина, що характеризує величину кроку мінімізації (кроковий множник). Враховуючи геометричний зміст завдання мінімізації функцій двох змінних Ф (x, y) - спуск на дно поверхні z=Ф (x, y), ітераційний метод можна назвати методом спуску, якщо вектор при кожному k є напрямом спуску (т. e. існує таке, що, і якщо множник підбирається так, щоб виконувалася умова релаксації, що означає перехід на кожній ітерації в точку з меншим значенням функції, що мінімізується.
Таким чином, при побудові чисельного методу виду мінімізації функції Ф (x, y) слід відповісти на два головних питання: як вибирати напрямок спуску і як регулювати довжину кроку в обраному напрямку за допомогою скалярного параметра - крокового множника.
При виборі напрямку спуску природним є вибір такого напрямку, в якому мінімізується функція спадає найбільш швидко.
Як відомо з математичного аналізу функцій декількох змінних, напрямок найбільшого зростання функції в даній точці показує її градієнт в цій точці. Тому приймемо за напрямок спуску вектор
антіградіентом функції Ф (х, у). Таким чином, з сімейства методів виділяємо градієнтний метод
Оптимальний крок у напрямку антіградіента - це такий крок, при якому значення найменше серед всіх інших значень Ф (х, у) в цьому фіксованому напрямку, тобто коли точка є точкою умовного мінімуму. Отже, можна розраховувати на найбільш швидку збіжність методу, якщо вважати в ньому
Такий вибір крокового множника, званий вичерпним спуском, разом з формулою визначає метод найшвидшого спуску.
Геометрична інтерпретація цього методу добре видна на малюнках, представлених вище. Характерні девяностоградусного злами траєкторії найшвидшого спуску, що пояснюється вичерпність спуску і властивістю градієнта (а значить, і антіградіента) бути перпендикулярним до лінії рівня у відповідній точці.
Висновок
У цьому рефераті було розглянуто методи розв'язання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь: метод ітерацій, метод Ньютона, метод спуску, а також метод Ньютона для вирішення нелінійних рівнянь. На прикладах було показано, що за допомогою даних методів можна досить швидко вирішити нелінійне рівняння або систему нелінійних алгебраїчних рівнянь з вказаною ступенем точності. При цьому використання таких програм, як Excel, MathCad, MathLab також істотно полегшує проводяться обчислення для знаходження коренів рівняння або системи рівнянь.
ньютон рівняння ітерація збіжність
Список використаної літератури
1) Короткий курс обчислювальної м...
