При такому виборі параметра? з формули (2.14) знаходимо
Так формула (2.14) пов'язує коефіцієнти розкладання з номерами однакової парності, то рішення (2.13) буде многочленом в тому випадку, якщо воно містить тільки ті ступеня t, показник яких має однакову з номером n парність.
Справді, нехай n - парне число, тобто n=2m. Тоді, залишаючи довільним, можна виразити через нього всі інші коефіцієнти. При цьому потрібно обов'язково покласти бо в іншому випадку будуть відмінні від нуля всі коефіцієнти з непарними номерами, а тоді рішення не буде многочленом.
Аналогічно, якщо n-непарне, тобто n=2m + 1, то для того щоб рішення (2.13) було многочленом, вважаємо і висловлюємо всі непарні коефіцієнти через, який залишиться довільним.
Таким чином, якщо, то многочлен, коефіцієнт якого визначається через за рекурентних формулою (2.14), є рішенням рівняння (2.12) за умови, що він містить тільки парні ступеня t, а так довільний множник можна визначити так, щоб виконувалася умова (2.10). Аналогічно при многочлен повинен бути непарним за рахунок вибору повинен задовольняти того ж умові (2.10).
Отже, в силу (2.11) послідовності власних функцій
(2.16)
Які є рішеннями рівняння (2.5) за умови (2.6), причому кожна функція (2.16) обмежена рівномірно на всій осі.
А тепер відзначимо головне. Диференціальне рівняння (2.12) за умови збігається з рівнянням y - 2xy + 2ny=0, якому задовольняє многочлен Чебишева-Ерміта Тому виникає питання про зв'язок многочленів і. Доведемо, що ці многочлени можуть відрізнятися тільки множником.
Справді, два сусідніх коефіцієнта многочлена пов'язані рівністю
з якого, вважаючи в ньому, знаходимо
Але такий же вигляд має рекурентне співвідношення (2.14), якщо в ньому поставити. Отже, многочлени і можуть відрізнятися тільки тому, що по-різному обраний перший коефіцієнт. А так як всі коефіцієнти у обох многочленів виражаються лінійно через перший, то, отже, многочлени і можуть відрізнятися тільки постійним множником, який можна вважати позитивним.
Для визначення постійної у формулі скористаємося двома равенствами
І
З цих рівностей знаходимо
Отже, маємо
Підставляємо це рівність у (2.11):
Нарешті, повертаючись до змінного, в силу формули (2.7) отримуємо власні функції диференціального рівняння (2.3)
(2.17)
У силу формул (2.8) і (2.15) функція (2.17) є рішенням диференціального рівняння (2.3) у випадку, якщо енергія Е задовольняє умові
з якого знаходиться квантовий спектр енергії елементарної частинки
(2.18)
Саме при цих значеннях енергії можливі стаціонарні стани елементарної частинки в силовому полі.
Таким чином, рішення рівняння (2.3) за умови (2.18) виражаються через многочлени Чебишева-Ерміта за формулою (2.17).
Література
1. Прасолов В. В. Багаточлени.- 3-е изд, виправлене.- М .: МЦНМО, 2003. - 336 с: ил ..
. Суетин П. К. Класичні ортогональні многочлени.- 3-е изд., ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 480 с.
3. lt; http: //alglib.sources/articles/ortpolin.phpgt;
. lt; http: //dic.academic/dic.nsf/enc_mathematics/6386/ЕРМІТАgt;
.http: //kazedu.kz/referat/86560
