- повна енергія її, U - потенційна енергія, а h - постійна Планка.
Ми розглянемо рівняння Шредінгера в одновимірному випадку, коли хвильова функція і потенційна енергія залежать тільки від однієї координати x, в етоі випадку рівняння (2.1) має вигляд
. (2.2)
Крім того, будемо вважати, що потенційна енергія визначається формулою
т.е. на частку діє пружна сила за законом де є власна частота коливань частинки. При цих припущеннях рівняння (2.2) представляється у формі
. (2.3)
Далі, з фізичного змісту задачі випливає, що невідома функція повинна задовольняти умові
(2.4)
яке з математичної точки зору замінює собою додаткові дані для визначення єдиного рішення рівняння (2.3).
З іншого боку, з теорії диференціальних рівнянь відомо, що рівняння виду (2.3) ні при всяких значеннях назв параметрів має рішення, що задовольняють певним умовам. Таким чином, математично завдання вирішення рівняння (2.3) полягає в тому, щоб знайти такі значення величини Е, при яких рішення цього рівняння було б обмеженим рівномірно при всіх x і задовольняло б умові (2.4). Фізично це означає, що потрібно визначити такі допустимі значення енергії Е, при яких можливі стаціонарні стани елементарної частинки в даному силовому полі. Інакше кажучи, потрібно визначити такі значення Е - спектр власних значень енергії, - при яких існують обмежені на всі осі рішення рівняння (2.3) - власні функції, що задовольняють умові (2.4).
З метою спрощення рівняння введемо нові позначення для постійних і замінимо незалежне змінне. Покладемо, де q - деяка постійна, і введемо позначення Тоді отримаємо
Отже, рівняння (2.3) і умова (2.4) тепер мають вигляд
(2.5)
(2.6)
Виберемо q так, щоб виконувалася умова
т.е. покладемо
(2.7)
і введемо новий параметр
(2.8)
Тоді замість (2.5) і (2.6) отримаємо
(2.9)
(2.10)
Далі замість введемо нову невідому функцію за формулою
(2.11)
Диференціюючи цей твір, знаходимо
Підставляємо в рівняння (2.9)
Таким чином, невідома функція Q (t), що визначається рівністю (2.11), задовольняє диференціальному рівнянню
(2.12)
Це диференціальне рівняння має тільки одну особливу точку t=?. Отже, його рішення є аналітична у всій комплексності площині функція. Тому можна шукати рішення рівняння (2.12) у вигляді степеневого ряду
(2.13)
У силу формули (2.11) щодо невідомої функції Q (t) можна висловити деякі обмеження, а саме: твір (2.11) повинно бути рівномірно обмежено на всій осі і повинно виконуватись умова (2.6).
Підставляючи розкладання (2.13) в рівняння (2.12), отримаємо
Так як це тотожність, то при будь-якому k коефіцієнт при має дорівнювати нулю, тобто
Таким чином, коефіцієнти розкладання (2.13) пов'язані еккурентной формулою
(2.14)
многочлен Чебишев Ерміт квантовий
Ця формула визначає окремо і незалежно коефіцієнти з парними і непарними номерами, причому два коефіцієнта і залишаються довільними. У принципі можна розглядати окремо парне і непарне рішення рівняння (2.12), перше з яких залежить лінійно від, а друге - від.
З формули (2.14) випливає, що якщо параметр? не є непарних натуральним числом, тобто ? ? 2n + 1, то всі коефіцієнти розкладання функції, починаючи з деякого номера, мають один і той же знак. І тому функція при зростатиме за абсолютним значенням швидше, ніж t в будь-яку як завгодно великій мірі. У зв'язку з цим фактором при умові? ? 2 n + 1 ми не можемо гарантувати рівномірну обмеженість твори на всій осі. Аналогічні твердження справедливі і для функції, а також і для лінійної комбінації цих функцій, бо в силу парності і непарності цих функцій лінійна комбінація їх може мати ослаблену швидкість зростання тільки на одній половині дійсної осі.
Отже, залишається розглянути тільки ті значення параметра?, які визначаються формулою
(2.15)
...
