0, до значень, більшим, ніж х0, вираз (х - х0) n змінить знак на зворотний, а так як знак першого множника при цьому не змінюється, то й знак рознести f ( x) -f (x0) зміниться. Таким чином, в точці х0 функція f (x) не може мати екстремуму, бо поблизу цієї точки приймає значення як менше, так і великі, ніж f (х0).
) n - парне число: n=2k. У цьому випадку різниця f (x) - f (x0) не змінює знака при переході від х менших, ніж х0, до великих, так як (х - х0) n gt; 0 при всіх х. Очевидно, поблизу х0 як зліва, так і справа знак рознести f (x) -f (х0) збігається зі знаком числа f {n) (х0). Значить, якщо, то f (x) gt; f (x0) поблизу точки х0, і в точці х0 функція f (x) має мінімум; якщо ж f {n) (х0) lt; 0, то функція має максим.
Теорема 3.Пусть функція f (x), задана на інтервалі [а, b], має похідні і в деякій точці [а, b] має місце f '{c)=...
Тоді якщо f (n) {x) gt; 0 при всіх х [а, b], то при парному n функція f (x) має мінімум при х=с, якщо ж непарне, то функція f (x) зростає на [а, b] і для неї х=с-точка перегину. Відповідно якщо f (n) (x) lt; 0 при всіх х [а, b], то при парному n функція f (x) має максимум в точці х=с, а при непарному функція f (x) убуває на [а , b] і для неї х=с-точка перегину.
Рис. 4
Доказ. Нехай умови теореми виконані і f (n) (х) gt; 0 (рис. 6). Тоді f {n - 1) (x) зростає в інтервалі [а, b], так що при х lt; с буде (рис. 4) і при х gt; c: (рис. 5).
Рис. 5
Рис. 6 Рис. 7
Таким чином, f {nl) (x) негативна при х lt; c і f (n - 1) (x) позитивна при x gt; с. Отже, f {n - 2) (x) убуває зліва від точки х=с і зростає праворуч від точки х=с. Вона звертається в нуль при х=с.
Тому вона приймає позитивні значення як зліва, так і праворуч від точки х=с і має мінімум при х=с (рис. 6). Функція f {n - 3) (х) зростає ліворуч і праворуч від точки x=с, так що, звертаючись в нуль при х=с, переходить від негативних значень до позитивних (рис. 7). Функція f (n - 4) (х) убуває зліва отточкі х=с і зростає праворуч. Отже, вона має мінімум і дорівнює нулю при х=с?? приймає позитивні значення як зліва, так і праворуч від с. Продовжуючи аналогічні міркування, ми отримаємо, що f {n - 1) (x), f (n - 3) (x). f (n - 5) (x) .... зростають, коли х проходить через точку х=с, af (n - 2) (x), f {n - 4) (x), f (n - 6) (x) .... мають мінімум при х=с. При парному n дійдемо до вихідної функції f (х) через парне число кроків, робимо висновок, що f (x) має мінімум при х=с. При непарному n ми дійдемо до f (x) за непарне число кроків і укладемо, що f (x) зростає зліва від точки х=с і продовжує зростати праворуч від неї. f (x) теж зростає, проходячи через нульове значення, і, отже, f (х) змінює знак з мінуса на плюс, значить, точка з є точка перегину для функції f (x).
Випадок f {n) (x) lt; 0 розглядається аналогічно. Теорема доведена.
Якщо функція задана параметричні: і, то похідні обчислюються за формулами:
; ; , ....
Похідну другого порядку можна обчислити за формулою:
Локальний екстремум функції
Визначення 7. Точка називається точкою локального максимуму функції, визначеної в деякій околиці, якщо. Якщо нерівність суворе для всіх, то говорять про суворе локальному максимумі.
Визначення 8. Крапка називається точкою локального мінімуму функції, визначеної в деякій околиці, якщо. Якщо нерівність суворе для всіх, то говорять про суворе локальному мінімумі. Якщо функція має в точці локальний мінімум або локальний максимум, то говорять про локальному екстремумі функції.
1.3 Локальний екстремум і теорема Ферма
Нехай існує число? gt; 0 таке, що функція f (x) визначена в? - околиці точки x 0, тобто на безлічі, і нехай для всіх x Є виконується нерівність
(11)
Тоді кажуть, що функція f (x) має в точці х 0 локальний мінімум.
Аналогічно, якщо існує число? gt; 0 таке, що для всіх x Є виконується неравнство.
(12)
то говорять, що функція f (x) має в точці х 0 локальний максимум. Локальний мінімум і локальний максимум об'єднуються загальним терміном локальний екстремум. Функція у=f (x), графік який зображений на рис. 12.1 має локальні екстремуми в точках х 1=1, х 2=3, х 3=4, а саме мінімум при х=1 і х=4 і максимум при х=3.
Теорема 3 (Ферма). Якщо функція f (x) має локальний екстремум в точці х 0 і диференційована в цій точці, то
f/(x 0)=0. (13)
Нехай, наприклад, функція f (x) має локальний мінімум в точці х 0. Тоді в силу (11) для всіх x Є=(x 0 - ?,...
