днорідне рівняння
(7)
Завданням Коші для цього рівняння називається завдання, що полягає у визначенні функції задовольняє цього рівняння і початковим умовам в точці t = t o
y o = Y (t o ), y ' o = y' (t o ),. . . , Y o (n-1) = Y (n-1) (t o ). br/>
Задача Коші має єдине рішення. Знайдемо рішення, що задовольняє рівнянню (7), а також початковим умовам.
(8)
t В® +0
Запишемо рівняння (8) в узагальнених функціях, продовживши функцію f (t) і шукане рішення нульовим значенням для t <0. Введемо функції
В
і відповідні узагальнені функції. Початкові умови в цьому випадку є стрибками функції y (t) і її похідних до n-1-го порядку включно в точці t = 0. Дійсно, розглянемо спочатку випадок, коли у функції y (t) тільки стрибок y o , тоді
В
де y '(t) - похідна у звичайному сенсі.
Якщо у функції ще й стрибок похідної рівний y ' o , то
В
Похідну порядку p (p ВЈ n-1) узагальненої функції можна записати у вигляді
В
Введемо позначення
В
Де
В
Таким чином, диференціальне рівняння (7) переходить в рівняння
(9)
Перевага цього рівняння полягає в тому, що воно містить початкові умови Коші і у формулюванні завдання беруть участь узагальнені функції.
Рівняння в згортках, відповідне рівняння (9), має вигляд
В
Якщо e (t) - його фундаментальне рішення, то з урахуванням останньої формули можна записати
(10)
За допомогою варіації постійних можна записати фундаментальне рішення у вигляді
e (t) = Q (t) y n (t),
де y n (t) - рішення однорідного рівняння
В
з початковими умовами
В
Тоді рішення рівняння (10) приймає вигляд
В
Таким чином, рішення рівняння (7) з початковою умовою (8) приймає вигляд
В
де передбачається, що f (t) - локально інтегрована функція.
Приклад. Розглянемо рівняння
y'' (t) = 0, t Ві 0
з початковими умовами
lim y (t) = y o , lim y '(t) = y' o
t В® +0 t В® +0
У цьому рівнянні а 1 = а 2 = 0 і b 1 = y o , b 2 = y ' o , а функція y 2 (t) = t є рішенням однорідного рівняння, що задовольняє умовам
y 2 (0) = 0, y '(0) = 1.
Тому
y (t) = y o + y ' o t, t Ві 0.
Можна також написати
В
