n . Для обчислення елементів зворотної матриці використовується співвідношення
A A -1 = A -1 A = E,
де E - одинична матриця.
Позначимо зворотну матрицю A -1 = X = [x ij ] n ' n . Тоді отримаємо
A X = E.
Будемо розглядати стовпці матриці X як вектори
... br/>
Аналогічно виділимо стовпці одиничної матриці E
...; p> Тоді система лінійних рівнянь виду
A =
дозволяє визначити елементи k-го шпальти зворотної матриці X = A -1 . Всього буде потрібно вирішити n таких систем з однаковою матрицею A, але різними правими частинами для k =. Це можна зробити з використанням LU-розкладання матриці коефіцієнтів A, або безпосередньо за допомогою методу Гаусса. br/>
6. Ітераційні методи
При вирішенні систем рівнянь високого порядку з розрідженими матрицями коефіцієнтів, які характерні для більшості завдань автоматизації проектування складних систем, найбільш ефективне застосування ітераційних методів. Такі методи (наприклад, послідовних наближень і Зейделя) дозволяють одержувати значення коренів системи із заданою точністю у вигляді послідовності
В
деяких векторів, сходяться до точного розв'язання X *. Ефективність застосування ітераційних методів залежить від вдалого вибору початкового наближення і швидкості збіжності процесу обчислень.
Ітераційні методи використовують особливості розріджених матриць коефіцієнтів, оскільки ненульові елементи обчислюються за спеціальними виразами в міру необхідності. Тому для їх реалізації потрібна менша кількість обчислювальних операцій (близько n 2 ) і відповідних витрат машинного часу. Важливою перевагою ітераційних методів також є несуттєве вплив похибок обчислень, так як будь помилкове наближення може розглядатися як новий початковий вектор.
Метод послідовних наближень Якобі. Нехай дана система лінійних рівнянь (1), для якої діагональні елементи
.
Тоді змінну x 1 можна виразити через перше рівняння, - через друге рівняння і т. д.
(10)
де і
Система (10) називається системою лінійних рівнянь, приведеної до нормального вигляду. Матрична форма запису такої системи представляється як
(11)
де
В
При вирішенні системи (11) за нульове наближення коренів може бути прийнятий стовпець вільних членів, тобто . Будь-яке k-е наближення (обчислюється за формулою
В
Якщо послідовність наближень,,, ...,, ... має межу, то ця межа є точним рішенням системи рівнянь (2). Ітераційна формула, яка може використовуватися при програмуванні методу Якобі, представляється в позначеннях вихідної системи (1) наступним чином
В
Обчислення тривають до тих пір, поки значення не стануть досить близькими до для всіх Формальне умова припинення ітераційного процесу записується як
(12)
де e - деяке задане позитивне число, що характеризує точність (погрішність) визначення коренів системи рівнянь.
Ітераційний метод Зейделя. Метод Зейделя являє собою модифікацію методу послідовних наближень. При визначенні значення змінної на деякій (k +1)-й ітерації використовуються вже обчислені (K +1)-е наближення невідомих,, ...,, А також значення отримані на попередній k-й ітерації. p> Нехай дана лінійна система рівнянь (10). Обрані початкові наближення коренів підставляються в перше рівняння
В
Для визначення отримане значення відразу ж підставляється в друге рівняння системи
В
Аналогічно визначаються наближення коренів. Значення обчислюється з використанням перших наближень всіх змінних як
В
У загальному випадку отримання значень невідомих за методом Зейделя на деякій k-ої ітерації проводиться за такою формулою
В
При використанні позначень вихідної системи рівнянь (1) итерационная формула зазвичай записується як
В
Умова завершення ітераційного процесу за методом Зейделя також формулюється у вигляді співвідношення (12). При цьому, як правило, процес сходиться до єдиного рішення швидше, ніж при використанні методу послідовних наближень Якобі.
Умови збіжності ітераційних процесів. Нехай дана приведена до нормального вигляду система (11) лінійних рівнянь. Ітераційні процеси послідовних наближень і Зейделя для системи (11) сходяться до єдиного рішення незалежно від вибору початкового наближення, якщо виконується хоча б одна з таких умов
В
Наведені співвідношення означають, що сума модулів елементів будь-якого рядка або будь-якого стовпця матриці a повинна бути менше одиниці. p> Таким чином, для збіжності зазначених ітераційних процесів досить, щоб значення елементів a
