сильно рівнянню b * (ln a) = a * (ln b) , або
(ln a)/a = (ln b)/b.
Нехай f (x) = (ln x)/x (1). Існування рішень рівняння (1) еквівалент-тно наявності значень x 1 і x 2 (X 1 2 ) таких, що f (x 1 ) = f (x 2 ). У цьому випадку пара (x 1 , x 2 ) є рішенням рівняння (1). Іншими словами, потрібно з'ясувати, чи знайдеться пряма y = c , перетинає графік функції f принаймні в двох різних точках. Для цього досліджуємо функцію f . Її похідна f / (x) = (1-ln x)/x 2 в області визначення f має єдину критичну точку x = e. При 0 / (x)> 0 функція f зростає, а при x> e f / (x) < 0 функція f убуває. Тому в точці x = e f приймає своє найбільше значення (1 /e). Так як функція (ln x)/x неперервна і зростає на проміжку (0, e], то вона на цьому проміжку приймає всі значення від - ВҐ до 1/е . Аналогічно, на проміжку [e, ВҐ ) функція f приймає всі значення з (0,1/e]. З результатів дослідження функції f випливають такі твердження:
1. Якщо 0 і a ВЈ 1 , то ( ln a)/ a <(ln b)/b. Тому a b a . Отже, рівняння (1) і рівносильну йому рівняння a b = b a не мають рішень.
2. Якщо 1 ВЈ e , то a b a і рівняння a b = b a також не мають рішень.
3. Якщо b> a> e , то a b > b a .
Таким чином, якщо (a, b) є рішенням рівняння a b = b a , То 1 , b> e . Більш того, при кожному фіксованому значенні 1 знайдеться єдине значення b> e таке, що a b = b a
Для відповіді на питання завдання 3 досить покласти a = e, b = p і скористатися затвердженням (1). Отже , e p > p < i> e . Задача 3 вирішена. br/>
Завдання 1.4. Два туристи відправилися по одному маршруту. У перший день вони пройшли одне і те ж відстань. У кожний з наступних днів перший турист збільшував пройдений шлях, порівняно попереднім, на одне і те ж відстань, а другий - В одне і те ж число раз. З'ясувалося, що в n-тий день (n> 2) подорожі туристи знову пройшли один і той ж відстань. Довести, що за n днів перший турист пройшов шлях більший, ніж другий.
Рішення.
Відстань, пройдене першим туристом за n днів, являє с...
