обою суму n перших членів арифметичної прогресії, а другим - Суму n перших членів геометричної прогресії. Позначимо ці відстані відповідно S n і S n /. Якщо a - Перший член прогресії, d - різниця арифметичної прогресії, q - знаменник геометричній прогресії, то В
Прирівнюючи n-е члени прогресій, знаходимо
В
Тоді, де q> 1 (за умовою задачі). Задача 4 буде вирішена, якщо ми покажемо, що, де n> 2, q> 1 (2)
При n = 3 маємо, що рівносильно очевидному нерівності. Припускаючи, що нерівність (2) справедливо при n = k , доведемо його для n = k +1 . Маємо
В
Для завершення докази досить переконатися, то вираз при k> 2. Тут доцільно звернутися до похідної.
Нехай Похідна позитивна при x> 1. Тому f при x> 1 зростає. Так як f (1) = 0 і функція f неперервна в точці x = 1 , то f (x)> 0 при x> 1 , тобто f (q)> 0. Отже, S n > S n /. Задача 4 вирішена. br/>
1.2. Використання основних теорем диференціального числення
при доказі нерівностей
ТЕОРЕМА 1 (Ролля) . Нехай функція f: [a, b] В® R задовольняє умовам:
1) fГЋC [a, b], 2) "xГЋ (a, b) існує f / (x), 3) f (a) = f (b). Тоді $ CГЋ (a, b): f / (C) = 0. p> Геометричний сенс теореми Ролля: при виконанні умов 1) -3) теореми на інтервалі (a, b) існує точка З, в якій дотична до графіка функції паралельна осі абсцис. На практиці частіше використовується наступне твердження теореми Ролля: між будь-якими двома нулями функції, що диференціюється існує хоча б один нуль у похідною. p> ТЕОРЕМА 2 ( Лагранжа про середнє значення, або про кінцеве прирощення) . Припустимо що функція f: [a, b] В® R задовольняє умовам:
1) fГЋC [a, b], 2) "xГЋ (a, b) існує f / (x). Тоді $ CГЋ (a, b): f (b)-f (a) = f / (C) (ba). p> Ставлення (F (b)-f (a))/(ba) є тангенс кута нахилу до осі абсцис січною, яка проходить через точки (a, f (a)), (b, f (b)). Геометричний зміст теореми Лагранжа: при виконанні умов 1) -2) теореми на інтервалі (a, b) існує точка С, в якій дотична до графіка функції в точці (C, f (C)) паралельна січної.
Слідство 1. Нехай функція f: [a, b] В® R має похідну f / на (a, b) і "xГЋ (a, b ) f / (x) = 0. Тоді для деякого LГЊ R "xГЋ (a, b) f (x) = L. p> Слідство 2. Опції f: [a, b] В® R, g: [a, b] В® R мають проізодниеі f / і g / на (a, b) і "xГЋ (a, b) f / (x) = g / (x). Тоді для деякого числа LГЊ R "xГЋ (a, b): f (x) = g (x) + L. p> Слідство 3. Нехай функція f: [a, b] В® R маємо похідну f / на (a, b) і для деякого LГЊ R "xГЋ ; (a, b) f / (x) = L. Тоді для деякого MГЊ R "xГЋ (a, b): ...
