З рівняння (3) легко знаходимо вираз для передавальної функції:
W (p) = y/х = (b2? p2 + b1? p + b0)/(a2? p2 + a1? p + a0) (4)
Якщо винести у виразі (4) за дужки постійні коефіцієнти a 0 і b 0 , то отримаємо стандартне уявлення передавальної функції в операторному вигляді:
W (p) = (b0/a0)? [(b2/b0)? p2 + (b1/b0)? p + 1]/[(a2/a0)? p2 + (a1/a0)? p + 1], або
W (p) = К? (T2x? p2 + T1x? p + 1)/(T2y? p2 + T1y? p + 1) (5)
Тут: T 2x і T 1x - постійні часу вирази в дужках чисельника;
T 2у і T 1У < span align = "justify"> - постійні часу вирази в дужках знаменника.
У загальному вигляді постійні часу визначають характер зміни їх містять функцій від часу. Якщо з плином часу значення функції не змінюється, то похідна від цієї функції буде дорівнює нулю, отже, і оператор Лапласа р = 0. І тоді перехідна функція, як це випливає з виразу (5), дорівнюватиме статичному коефіцієнту посилення До: W (p = 0) = K, що відповідає рівнянню: у = К? Х. p align="justify"> До тимчасових характеристиках динамічних ланок відносять перехідну і вагову функції.
Перехідна функція h (t) визначає характер зміни в часі вихідного сигналу ланки, якщо вхідний сигнал є одиничною ступінчастою функцією x (t) = 1 (t):
y (t) = h (t)? 1 (t). (6)
Вагова функція g (t) (імпульсна перехідна функція) визначає характер зміни в часі вихідного сигналу ланки, якщо вхідний сигнал є імпульсної функцією x (t ) =? ( t) = 1? (t), яка являє собою похідну від одиничної ступінчастої функції, тобто її крива на площині охоплює площу, рівну 1:
y (t) = g (t )?? ( t) = g (t)? 1? (t) (7)
Для знаходження часових характеристик динамічних ланок необхідно вирішити диференціальні рівняння ланки при нульових початкових умовах [у (х = 0)] і відповідних вхідних сигналах 1 (t) або ? ( t).
Вагова функція є похідною від перехідної функції. Отже вагову функцію g (t) можна визначити шляхом аналітичного і графоаналитического диференціювання перехідної функції h (t): g (t) = dh (t)/dt. p align="justify"> Розглянемо з вами далі диференціальні рівняння основних типів елементарних динамічних ланок і їх перехідні функції.
Інтегруюче ланка
Характерна особливість інтегруючого ланки полягає в тому, що швидкість зміни значення вихідного сигналу y (t) ланки (похідна y? (t)) прямо пропорційна значенню вихідного сигналу, тобто:
y? (t) = K? x (t). (8)
або в операторної формі:
p? y = K? x. (9)
При подачі на вхід одиничної ступінчастої функції x (t) = 1 (t) вираз (8) прийме наступний вигляд: y? (t) = K, або dy = K? dt. Інтегруючи обидві частини отриманого рівняння, отримаємо аналітичний вираз перехідної функції інтегруючого ланки:
y (t) = h (t) = K? t. (10)
З рівняння (9) можна отримати аналітичний вираз передавальної функції інтегруючого ланки:
W (p) = y/x = K/p. (11)
З рівняння 10 випливає, що вагова функція інтегруючого ланки дорівнює його статичному коефіцієнту посилення К:
g (t) = h? (t) = K (12)
Аперіодична (інерційне) ланка
Динамічні властивості аперіодичного ланки визначаються диференціальним рівнянням першого ступеня:
T? y? (t) + y (t) = K? x (t). (13)
З даного виразу випливає, що динамічні властивості ланки залежать від аргументу Т, що називається постійної часу і визначального тривалість перехідного процесу від початкового значення вихідний функції y (t) до сталому постійному її значенням при подачі на вхід одиничної ступінчастою функції 1 (t).
Рівняння (13) може бути також представлено в операторної формі:
T? p? y + y = y (T? p + 1) = K? x. (14)
З рівняння (14) легко отримуємо аналітичний вираз для передавальної функції аперіодичної ланки:
W (p) = y/x = K/(T? p + 1). (15)
Враховуючи, що передавальна функція є ніщо інш...
