an> ? 1 = 0; < span align = "justify">? 2 = 1, тому ? 1 = 0 є простий корінь (r = 1) цього рівняння. У правій частині многочлен першого ступеня (m = 1), тому приватне рішення неоднорідного диференціального рівняння слід шукати у вигляді:
? (x) = x (B0x + B1).
Підставляючи? (х) в рівняння і порівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях х, знайдемо, що
? '(x) = (B0x + B1) + хВ0 = 2В0х + В1.
?'' (x) = 2B0.
B0 - 2В0х - В1 = 12х
В0 = 12 і 2В0 - В1 = 0
В0 = - 6 і В1 = -12,
в результаті отримуємо? (x) = x (- 6x - 12) = - 12х - 6х2.
у'' + 2у '+ 5y = - 2sin 2x.
Знайдемо спільне рішення рівняння? відповідного однорідного рівняння:
у'' + 2у '+ 5y = 0.
Вирішуючи відповідає йому характеристичне рівняння
? 2 + 2? + 5 = 0,
отримуємо комплексні корені ? 1 = - 1 - 2i; ? 2 = - 1 + 2i, отже,
? = E-x (C1 cos x + C2 sin 2x). br/>
Будемо тепер шукати у *. Тут права частина f (x) має вигляд:
(x) = a cos? x + b sin? x, т. е. а = 0, b = - 2,? = 2i.
Числа 2i не є корінням характеристичного рівняння, тому приватне рішення у * слід шукати у формі
у * = А cos 2x + B sin 2x,
де А і В - невизначені коефіцієнти.
Знайдемо похідні у * 'і у *'':
у * '= - 2А sin 2x + 2B cos 2x;
у *'' =-4A cos 2x - 4B sin 2x.
підставляючи тепер вирази для у *, у * ', у *'' в дане рівняння і групуючи члени при cos 4x і sin 4x, в результаті отримаємо
(-4A cos 2x - 4B sin 2x) + 2 (- 2А sin 2x + 2B cos 2x) + 5 (А cos 2x + B sin 2x) =-2sin 2x диференційний рівняння лінійний інтегрування
Cos 2x (- 4A + 4B + 5A) + sin 2x (-4B - 4A + 5B) =-2sin 2x.
Складемо систему:
В
В = - 2 + 4А, А + 4 (-2 + 4А) = А - 8 + 16А = 0.
А = 8/17 і В = - 2/17.
