y"> = ,
= - - + C, і остаточно отримаємо рішення
= uv = - ( + C).
Знайдемо постійну С, згідно з заданим початковим умовам у (0) = 1/3:
/3 = - ( + C) = - 4/18 - C, C = - 1/3 - 4/18 = - 10/18 = - 5/9.
Отримуємо рішення:
у = - ( - 5/9) = - ( ) =
= - .
Завдання 4. Знайти рішення диференціального рівняння, що допускає зниження порядку
'' '= cos x, y (0) = 1, y' (0) = 0, y'' (0) = 1.
Проводимо послідовне інтегрування:
y'' = = sin x + C1,
З початкової умови y (0) = 1 знайдемо постійну С1:
1 + 0 = C1, C1 = 1, отже y'' == sin x + 1, '= = - cos x + x + C2,
З початкової умови y (0) = 0 знайдемо постійну С2:
= - 1 + 0 + C2, C2 = 1,
У підсумку отримуємо y '= - cos x + x + 1.
y = dx = - sin x + x2/2 + x + C3.
З початкової умови y (0) = 1 знайдемо постійну С3:
= - 0 + 0 + 0 + C3, C3 = 1,
У підсумку отримуємо y = - sin x + x2/2 + x + 1.
Завдання 5. Проінтегрувати наступні лінійні неоднорідні рівняння
'' + y '- 6y = 0
Запишемо характеристичне рівняння. Для цього замінимо функцію у і її похідні відповідними ступенями ?:
? 2 + ? - 6 = 0
звідки ? 1 = - 3 і ? 2 = 2. Так як коріння характеристичного рівняння дійсні і різні, то загальне рішення даного диференціального рівняння має вигляд:
у = С1Е-3х + С2е2х.
у'' - у '= 12х.
Складемо характеристичне рівняння: ? 2 -? = 0, звідки
