Введемо в області D сітку (рис. 3):
В
В
Рис. 2
Значення цілої постійної М і кроку вважаються заданими. Будемо шукати наближене рішення цього завдання на сітці. Оскільки є точним рішенням нашої диференціальної крайової задачі, в кожному вузлі сітки буде виконуватися диференціальне рівняння
,
в кожному вузлі, лежачому на нижній межі області D (), буде виконуватися початкова умова
,
в кожному вузлі, лежачому на лівій межі області D (), буде виконуватися граничне умова
,
в кожному вузлі, лежачому на правій межі області D (), буде виконуватися початкова умова
.
Замінимо приватні похідні, що входять до диференціальне рівняння, різницевими відносинами (1.1.4) і (1.1.7) і отримаємо в результаті систему наближених рівностей, що пов'язують значення функції в вузлах сітки:
(1.2.7)
, (1.2.8)
, , (1.2.9)
, . (1.2.10)
Оскільки рівності (1.2.7) є наближеними, вирішивши систему (1.2.7) - (1.2.10), ми отримаємо, що не точні значення , а наближені. Позначимо їх через ( ). У результаті для визначення отримаємо різницеву схему:
(1.2.11)
, (1.2.12)
, , (1.2.13)
, . (1.2.14)
Висловимо з (1.2.11). У результаті виходить рекуррентная формула
(1.2.15)
застосовуючи яку послідовно при , можна, знаючи , і , в явному вигляді визначити , , ...,
