утності локальних мінімумів.
Порядок рахування в методі Найшвидший спуску Наступний:
находится аналітичне рівняння для градієнта;
вібірають Початкове приближення вектора невідоміх;
віраховують координат та градієнта в точці;
віраховують крок по градієнту за формулами (6) або (7);
віраховують уточнень вектор невідоміх.
Далі процес повторюється з пункту 3 до сходження.
1.2.1 Приклад решение системи нелінійніх рівнянь методом спуску
Методом Найшвидший спуску пріблізно розрахуваті корені системи
В
розміщенні в области качану координат.
Маємо:
Тут та
В
Підставляємо Нульовий приближення, будемо мати:
та
за формулами получімо перше приближення
В
Аналогічно находиме одного приближення. Маємо:
В В В В В
.
В
1.3 Метод Ньютона-Канторовича
Метод Ньютона-Канторовича, Придатний для проведення розрахунків в Excel. Як и в методі Ньтона для нелінійніх рівнянь для знаходження кореня системи нелінійніх рівнянь звітність, спочатку якімсь чином найти Початкове набліження до цього кореня (Тоб вектор
),
а потім Вже Використовують ітераційні формули методу проводитися его уточнення до Досягнення заданої точності. Виклад методу (и его Використання) зручніше Проводити в матрічній ФОРМІ запису. При цьом, окрім векторів,, і (. (I - номер ітерації,, i Ві 0)) вікорістовується такоже матриця A (розмірності n 'n), что Складається з приватності похідніх по всех компонентах вектора:
:
Розглянемо ці методи для випадка n = 2, тоб коли рівнянь в Системі два и невідоміх теж Дві. У цьом випадка
, та.
Ідея методу Полягає в розкладанні вектор-Функції в ряд Тейлора в околиці Початкова набліження Із збереженням Тільки доданків Першого ступенів. Позначімо Знайдену (якімсь чином) Початкове приближення до Шуканов кореня через. Тоді можна пріблізно записатися
, (8)
На Основі формула (8) будується ітараційна формула. А самє, вібірається так, щоб. p> Тоді (у загально вігляді) ітераційна формула матіме вигляд
(9)
У методі Ньютона Цю ітераційну формулу перетворять до вигляд
(10)
У координатного вігляді формула (10) представляет систему з двох рівнянь Щодо двох невідоміх xi +1 та yi +1. p> У матричному вігляді решение ее матіме вигляд
В
допоміжній вектор-стовпець z, что містіть n ЕЛЕМЕНТІВ.
(11)
Ітераційна формула методу в матричному запісі має Наступний вигляд
z j = - A -1 (x j) < b> Г— F (X j)
x j +1 = x j + z j , (12)
тут j - номер ітерації, ...
