рхнім індексом т . Нехай U = (2, 3), тоді U T = ( 2 3 ). Легко зрозуміти, що операція транспонування, здійснена послідовно двічі, дає вихідний вектор: (X T ) T = X, який би не був вектор X - рядок або стовпець.
Скалярний твір векторів. Нехай Х = (x 1 , ..., X n ), Y = (y 1 , ..., Y n ) - Вектори однакової розмірності, тоді число x 1 y 1 + ... + X n y n називається скалярним добутком векторів X і Y і позначається X В· Y. Наведемо без доказів (вони дуже прості) властивості скалярного твори:
а) Х В· = Y В· X;
б) Х В· (Y + Z) = Х В· У + Х В· Z
в) Х В· (О»Y) = О› (Х В· Y) для будь-яких векторів X, Y і будь-якого числа О».
2. Лінійні простору
Лінійна залежність і незалежність векторів. Нехай R n позначає безліч всіх n-мірних векторів-рядків. Зауважимо, що це не просто безліч - R n несе певну структуру. Саме будь-який вектор Х в€€ R n можна помножити на будь-яке число О»X і результат - вектор О»X є знову елемент безлічі R n . Сума двох і навіть будь-якого кінцевого числа векторів з R n знову є елемент R n . Крім того, операції множення вектора на число і додавання векторів пов'язані один з одним певними співвідношеннями (див. п. 2).
У безлічі R n є унікальний вектор 0 = (0, ..., 0). Його роль цілком аналогічна ролі числа 0 в безлічі чисел. Так, 0 В· X = 0 і X + 0 = X для будь-якого Х в€€ R n . p> Вектор X, задовольняє нерівності X> 0, називається ненегативним . Ненегативний вектор - це в точності той, всі компоненти якого ненегативні. Вектор (2, 3) є невід'ємним, а вектор (-2, 4) - немає, бо його 1-а компонента не є невід'ємним числом.
З усіх цих причин R n називають n-мірним числовим (або арифметичним) лінійним простором. Слово В«числовеВ» у назві лінійного простору підкреслює, що елементами такого простору є вектори, компоненти яких є числа.
Вектор В = (b 1 , ..., B m ) називається лінійної комбінацією векторів A = (A 11 , ..., A m 1 ), ..., An = (a 1 n , ..., A mn ) тієї ж розмірності, якщо знайдуться числа х 1 , ..., х n такі, що В = x 1 A 1 + ... + Х n А n . Отже, щоб дізнатися про це, треба вирішити систему з m лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) з n невідомими:
В
Дізнаємося, наприклад, чи є вектор F = (1, 6) лінійної комбінацією векторів H 1 = (1, 2), H 2 = (0, 2). Отримуємо зовсім просту СЛАР:
В
Її рішення: х 1 = 1, х 2 = 2. Отже, ...
