3.2)
Або запишемо вираз (3.2) у вигляді:
, (i = 1,2, ..., n-1), (3.3)
В
Так як усього n +1 невідомих на відрізку [a, b], а рівнянь n-1, то не вистачає ще двох рівнянь для знаходження всіх (i = 0,1, ..., n). Ці відсутні рівняння дають крайові умови (1.2). За умовою курсової роботи,, тому система (1.2) приймає вигляд:
В
З урахуванням цього запишемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
,
де (i = 1,2, ..., n-1) (3.4)
Таким чином, отримана лінійна система (3.4) з n +1 рівнянь з n +1 невідомими, котрі представляють собою значення шуканої функції y = y (x) в точках. p> Систему рівнянь (3.4) можна записати в матричному вигляді, при цьому виходить трехдіагональной матриця коефіцієнтів
Обчислити рішення системи можна методом алгебраїчної прогонки. Метод прогонки складається з двох частин: прямий і зворотний хід. p> Наведемо матрицю (3.5) до двухдіагональному увазі. Припустимо, що з (3.4) виключена невідома. Тоді це рівняння прийме вигляд:
(3.7)
де (i = 1,2, ..., n-1) деякі коефіцієнти.
У прямому ході методу прогонки визначаються коефіцієнти знаючи Знайдемо ці коефіцієнти, для цього запишемо
В
Підставимо цей вираз у (3.4) і, висловивши, будемо мати:
(3.8)
Порівнюючи формули (3.7) і (3.8), отримаємо рекурентні формули для визначення та:
(i = 1,2, ..., n-1) (3.9)
Визначимо тепер і. З (3.7) при i = 0 отримаємо:
(3.10)
Порівнюючи (3.10) і перше крайове умова з (1.2), знаходимо:
В
При зворотному ході, використовуючи формулу (3.7) і умова, послідовно знаходимо
Точність в методі кінцевих різниць досягається аналогічним способом, наведеним у методі відомості крайової задачі до задачі Коші, тому що отримана точність залежить від кроку розбиття відрізка [a, b].
3.2 Опис результатів
При вирішенні даного диференціального рівняння другого порядку із заданими крайовими умовами (1.3) методом кінцевих різниць, отримані наступні результати представлені в таблиці 2. У стовпці Х наведено розбиття відрізка [1.3; 1.8] з кроком h = 0.02, у стовпці Y (X) - значення функції (n = 1, ..., 26) у відповідних точках, в стовпці E - значення знайдених абсолютних похибок. p> В результаті роботи програми, лістинг якої наведено в додатку 2, точність була досягнута при кроці 0.01, максимальна похибка як видно з таблиці 2 при n = 14.
Для досягнення заданої точності Е = крок h = 0.02 зменшили в 2 рази, оскільки при кроці більшому, ніж h = 0.01 отримана точність не задовольняла заданої.
Легко помітити, що отримана максимальна похибка менше заданої точності, отже, перевірка точності виконана і отримана точність задовольняє заданої.
Таблиця 2
X Y (X)
