перегину. p> На рис. зображена нормальна крива при й.
3. Вплив параметрів нормального розподілу на форму нормальної кривої
Графік функції і мають однакову форму; зсунувши графік у позитивному напрямку осі на одиниць масштабу при або в негативному напрямку при, отримаємо графік. Звідси випливає, що зміна величини параметра (математичного очікування) не змінює форми нормальної кривої, а приводити лише до її зсуву уздовж осі: вправо, якщо зростає, і вліво, якщо убуває. br/>В
По іншому йде справа, якщо змінюється параметр (середньоквадратичне відхилення). Максимум диференціальної функції нормального розподілу дорівнює
.
Звідси випливає, що зі зростанням максимальна орбіта нормальної кривої убуває, а сама крива стає більш пологою, тобто стискається до осі; при убуванні нормальна крива стає більш "гостровершинності" і розтягується в позитивному напрямку осі.
За будь-яких значеннях параметра і про площа, обмежена нормальної кривої і віссю, залишається рівною одиниці.
На рис. зображені нормальні криві при різних значеннях і. Креслення наочно ілюструє, як зміна параметра позначається на формі нормальної кривої. p> При і нормальну криву
В
називають нормованою.
4. Імовірність відхилення в заданий інтервал нормальної випадкової величини
Якщо випадкова величина X задана щільністю розподілу, то ймовірність того, що X прийме значення, що належить інтервалу, така:
В
Нехай випадкова величина X розподілена за нормальним законом. Тоді ймовірність того, що X прийме значення, що належить інтервалу, дорівнює
В
Можна перетворити цю формулу так, щоб можна було користуватися готовими таблицями. Введемо нову змінну. Звідси,. Знайдемо нові межі інтегрування. Якщо, то; якщо, то. p> Таким чином, маємо
В
Користуючись функцією Лапласа
,
остаточно отримаємо
.
5. Обчислення ймовірності заданого відхилення
Часто потрібно обчислити вірогідність того, що відхилення нормально розподіленої випадкової величини X за абсолютною величиною менше заданого позитивного числа, тобто потрібно знайти ймовірність здійснення нерівності.
Зауважимо це нерівність рівносильним йому подвійним нерівністю
, або.
Користуючись формулою
,
отримаємо
В
Взявши до уваги рівність (функція Лапласа - непарна), остаточно маємо
.
Зокрема, при
.
В
На малюнку наочно показано, що якщо дві випадкові величини нормально розподілені і, то ймовірність прийняти значення, що належить інтервалу, більше у тієї величини, яка має менше значення. Цей факт повністю відповідає вероятностному змістом ...
