і. Достатньо знати ці параметри, щоб задати нормальний розподіл. Покажемо, що імовірнісний зміст цих параметрів такий: є математичне сподівання, - середньоквадратичне відхилення нормального розподілу. p> а) За визначенням математичного сподівання неперервної випадкової величини,
В
Введемо нову змінну. Звідси,. Взявши до уваги, що нові межі інтегрування дорівнюють старим, отримаємо
В
Перше з доданків дорівнює нулю (під знаком інтеграла непарна функція; межі інтегрування симетричні відносно початку координат). Друге з доданків одно (інтеграл Пуассона). p> Отже,, тобто математичне сподівання нормального розподілу одно параметру.
б) За визначенням дисперсії неперервної випадкової величини, враховуючи, що, маємо
.
Введемо нову змінну. Звідси,. Взявши до уваги, що нові межі інтегрування дорівнюють старим, отримаємо
.
інтегрується по частинах, поклавши,, знайдемо
.
Отже,
.
Отже, середнє квадратичне відхилення нормального розподілу одно параметру.
Загальним називають нормальний розподіл з довільними параметрами і (> 0).
Нормованим називають нормальний розподіл з параметрами і.
Щільність нормованого розподілу
.
Функція загального нормального розподілу
,
А функція нормованого розподілу
.
Ймовірність влучення нормованої нормальної величини X в інтервал (0, x) можна знайти, користуючись функцією Лапласа
.
Дійсно
В
Враховуючи, що і, отже, в силу симетрії відносно нуля, а значити, і,
Легко отримати, що.
Дійсно,
.
2. Нормальна крива
Графік щільності нормального розподілу називають нормальної кривої (крива Гауса).
Досліджуємо функцію
В
Методами диференціального числення.
1.Очевідно, функція визначена на всій осі.
В
2.При всіх значеннях функція приймає позитивні значення, тобто нормальна крива розташована над віссю.
. Межа функції при необмеженому зростанні (за абсолютною величиною) дорівнює нулю:, тобто вісь служить горизонтальній асимптотой графіка.
. Досліджуємо функції на екстремум. Знайдемо першу похідну:
.
Легко бачити, що при, при, при.
Отже, при функція має максимум рівний.
. Рівність міститься в аналітичному вираженні функції в квадраті, тобто графік функції симетричний відносно прямої.
. Досліджуємо функцію на точки перегину. Знайдемо другу похідну:
.
Легко бачити, що при і друга похідна дорівнює нулю, а при переході через ці точки вона змінює знак (в обох цих точках значення функції дорівнює). Таким чином, точки графіка і є точками ...
