"justify"> Зауважимо, що оскільки зворотну матрицю можна знайти тільки для квадратних матриць, то матричним методом можна вирішувати тільки ті системи, в яких число рівнянь збігається з числом невідомих. Однак, матрична запис системи можлива і в разі, коли число рівнянь не дорівнює числу невідомих, тоді матриця A залежить не буде квадратної і тому не можна знайти рішення системи у вигляді X = A-1B. p align="center">
1.2.2 Метод Крамера Розглянемо систему 3-х лінійних рівнянь з трьома невідомими:
В
Визначник третього порядку, відповідний матриці системи, тобто складений з коефіцієнтів при невідомих,
В
називається визначником системи.
Складемо ще три визначника наступним чином: замінимо у визначнику D послідовно 1, 2 і 3 стовпці стовпцем вільних членів
В
Тоді можна довести наступний результат.
Теорема (правило Крамера). Якщо визначник системи ? ? 0, то розглянута система має одне і тільки одне рішення, причому
В
Доказ. Отже, розглянемо систему 3-х рівнянь з трьома невідомими. Помножимо 1-е рівняння системи на алгебраїчне доповнення A11 елемента a11, 2-е рівняння - на A21 і 3-е - на A31:
В
Складемо ці рівняння:
В
Розглянемо кожну з дужок і праву частину цього рівняння. За теоремою про розкладання визначника за елементами 1-го стовпця
.
Далі розглянемо коефіцієнти при x2:
В
Аналогічно можна показати, що і .
Нарешті нескладно помітити, що
В
Таким чином, отримуємо рівність: .
Отже,
.
Аналогічно виводяться рівності і , звідки і випливає твердження теореми.
Таким чином, зауважимо, що якщо визначник системи ? ? 0, то система має єдине рішення і назад. Якщо ж визначник системи дорівнює нулю, то система або має нескінченну безліч рішень, або не має рішень, тобто несовместна.
1.2.3 Метод Гауса
Метод Гаусса грунтується на наступній теоремі: елементарним перетворенням рядків розширеної матриці системи відповідає перетворення цієї системи в еквівалентну.
За допомогою елементарних перетворень рядка розширеної матриці, а також зміни місцями стовпців, що відповідає перепозначенню змінної, матриця зводи...
