Процеси, засновані на цій ідеї можуть бути застосовані і при відсутності базису з власних векторів. У цьому випадку при їх обгрунтуванні можна використовувати розкладання з канонічного базису. При цьому деяке видозміна методів дозволяє обчислювати кілька векторів з канонічного базису. p> Друга ідея грунтується на екстремальних властивостях власних значень і застосовна тільки до симетричним матрицям. Ця ідея близька до ідеї релаксації для вирішення лінійної системи рівнянь. Методи, засновані на цій ідеї, дають послідовність векторів, все краще реалізують максимум (або мінімум) відносини. p> Вибір поправок для переходу від попереднього вектора до подальшого може здійснюватися різна. Найважливіша група методів, що використовують цю ідею, в яких поправки беруться в напрямку градієнта функціоналу. br/>
3. Обчислювальні методи власних значень і власних векторів
Методи визначення власних значень і власних векторів матриці природним чином діляться на дві основні групи: прямі методи та ітераційні.
Прямі методи полягають у тому, що за допомогою кінцевого числа подібних перетворень вихідна матриця наводиться до матриці більш простого виду, для якої легко знаходяться коефіцієнти характеристичного многочлена і власні вектори. При цьому власні значення перебувають як коріння характеристичного многочлена-яким з методів. p> Основною перевагою прямих методів є широка область формального застосування і велика швидкість роботи. Однак користуватися ними треба дуже обережно, так як майже всі вони чутливі до помилок округлення результатів проміжних обчислень. Пояснюється цей факт таким чином. p> Нехай
В
є характеристичний многочлен матриці А. Розглянемо послідовність векторів, де
,.
Тоді коефіцієнти характеристичного многочлена будуть задовольняти системі лінійних алгебраїчних рівнянь
.
Виявляється [31], що багато методів (Крилова, Данилевського, Самуельсона і т.д.) по суті є методами вирішення цієї системи спеціальному способом.
Стійкість рішення системи сильно залежить від матриці А та початкової вектора. Якщо матриця А має кратні власні значення, то матриця системи обов'язково буде виродженою при будь-якому векторі. Система з виродженою матрицею не може мати сталого рішення, так як незначною зміною коефіцієнтів її взагалі можна зробити можна зробити несумісною. Рішення буде нестійким і в тому випадку, коли абсолютні значення коефіцієнтів розкладання вектора за власними векторах матриці А мають великий розкид. p> Зазначений недолік відсутній у прямих методів, заснованих на унітарних перетвореннях матриці А, але ці методи значно складніше визначаються коефіцієнти характеристичного многочлена.
3.1 Обчислювальні методи повної проблеми власних значень
Розрізняють повну і часткову проблему власних значень, тоді необхідно знайти весь спектр (всі власні значення) і власні вектори чи частину спектру, нап...
