іккаті віпліває Із теореми Існування загально розвязка.
У відношенні побудова загально розвязка в квадратурі рівняння Ріккаті відрізняється среди нелінійніх рівнянь загально увазі тім, что знання одного Частинами розвязка Дає можлівість найти его загальний розвязок у квадратурі. Це віпліває Із наступної теореми. p> Теорема. Если відомо один Частинами розвязок рівняння Ріккаті, то повний розвзок отримується двома квадратурами. p> Доведення. Дійсно, нехай у - Частинами розвязок рівняння Ріккаті (1), так что
? Р (х) у + Q (x) y. (14)
Зробимо у рівнянні (1) заміну шуканої Функції, покладемо
, (15)
де z - нова Шукало функція. Тоді будемо мати:
+. (16)
беручи до уваги тотожність (14), отрімаємо рівняння Бернуллі:
, (17)
для відшукання Функції z, z = z (x).
Рівняння (17) заміною зводіться до лінійного рівняння
. (18)
Тоді рівняння Ріккаті у випадка, коли відомо его один Частинами розвязок, інтегрується двома квадратурами. Теорему доведено. p> На практіці нужно Одразу делать заміну
, (19)
яка приводити рівняння Ріккаті (1) відразу до лінійного рівняння (18).
Відмітімо два очевідні випадка, коли легко находится Частинами розвязок:
,; (20)
,; (21)
Приклад. Розглянемо рівняння
. (22)
Неважко переконатісь, що - Частинами розвязок рівняння (22). Зробимо заміну
, ()
тоді отрімаємо:
, ()
Звідки
(23)
Тоді загальний розвязок рівняння (22) має вигляд
(24)
Зауваження. Із формули (19) видно, что на відміну від розв язку лінійного рівняння, розв язок рівняння Ріккаті может перетворювати в нескінченність при кінцевому значенні х (тоб інтегральна крива может мати вертикальністю асимптоту) даже тоді, коли КОЕФІЦІЄНТИ P (x), Q (x) i R (x) задані и неперервні при всех значення х.
В§ 4. Структура загально розв язку
Загальний розв язок лінійного рівняння (18) має вигляд
В
Підставляючі цею вирази для u у формулу (19), отрімаємо загальний розвязок рівняння Ріккаті в Наступний вігляді:
В
або
, (25)
тоб загальний розвязок рівняння Ріккаті є дробові-лінійна функція від довільної сталої С.
такий характер залежності загально розвязка від довільної сталої має місце Тільки для рівняння Ріккаті. Дійсно, нехай (25) Вє загальний розвязок Деяк діференціального рівняння, при чому Тоді, розвязуючі (25) відносно С і віключаючі З діференціюванням, маємо:
В
,
В
або
(26)
