і.
1. Рівняння Ріккаті (як и Лінійне рівняння) зберігає свой вигляд при будь-якому перетворенні незалежної змінної
х = (5)
де - будь-яка неперервно діфференційовна функція, Визначи на інтервалі (, причому? 0, є (.
Дійсно, оскількі
В
то перетвореності рівняння має вигляд:
В
тоб вновь є рівнянням Ріккаті. p align="justify"> 2. Рівняння Ріккаті зберігає свой вигляд НЕ Тільки при будь-якому лінійному перетворені шуканої Функції, альо такоже и при будь-якому дробового-лінійному перетворенні
(6)
де довільні Функції, візначені и неперервно діфференційовні на інтервалі (а, в), підпорядковані очевідній умові
Насправді, діференціюючі (6), знаходимо:
(7)
так что ліва частина рівняння (1) замініться дробу (7). Права частина рівняння (1) после заміні у віразі (6) i зведення до загально знаменніка перетворіться в дріб, чисельників Який є квадратичної функцією від z, а знаменнік - тієї ж, что и у дробі (7). Тому перетвореності рівняння вновь буде рівнянням Ріккаті. p> Застосовуючі ті або Інше Із Вказаною перетвореності, чи можемо спростіті вигляд рівняння Ріккаті І, таким чином, спростіті его Вивчення.
В§ 2. Прості випадка інтегрованості в квадратурі
У випадка, коли P, Q и R - Сталі, рівняння Ріккаті являє собою рівняння з відокремлюючімі зміннімі и тоді его загальний інтеграл находится в квадратурі. У даним випадка ВІН віражається через Елементарні Функції. p> При змінніх Р, Q и R рівняння Ріккаті, на відміну від других рівнянь, інтегрується в квадратурі позбав у вінятковіх випадка.
Віділімо деякі найпростіші випадка інтегрованості в квадратурі рівняння Ріккаті (Із зміннімі коефіцієнтамі). p> Це Перш за все рівняння увазі
(8)
, (9)
де а, в і с - Сталі числа (причому); рівняння (8) є рівнянням з відокремлюванімі зміннімі, а (9) - однорідне. Рівняння (9) інтегрується в елементарних функціях. p> Рівняння Ріккаті
або (10)
() зводіться до рівняння виду (8), ЯКЩО покласть
, (11)
де z - нова невідома функція. Дійсно, підставляючі (11) в (10), отрімаємо:
. (12)
Рівняння (10) інтегрується в елементарних функціях.
Рівняння Ріккаті увазі
, (13)
де А, В і С - Сталі числа, такоже інтегрується в квадратурі и даже в Елементарна функціях. Насправді, чи не тяжко переконатісь, что рівняння (13)
є одноріднім, причому k = -1. Виконано заміну змінної y =, отрімаємо рівняння з відокремлюванімі зміннімі:
,
загальний інтеграл Якого віражається через Елементарні Функції.
В§ 3 Побудова загально розвязка у випадка, коли відомій один Частинами розвязок
Існування загально розвязка рівняння Р...
