> что после ділення на коефіцієнт при приводити до рівняння Ріккаті. br/>
В§ 5. Побудова загально розв язку, коли відомо два або три Частинами розв язки
Если відомо два Частинами розв язки рівняння Ріккаті, то его загальний розв язок находится однією квадратури.
Насправді, ЯКЩО і - частинні розвязка рівняння Ріккаті, то Із (19) слідує, что для лінійного рівняння (18) відомо один Частинами розвязок
В
а тоді загальний розвязок цього рівняння находится однією квадратури. Тоді, в такому випадка загальний розвязок рівняння Ріккаті находится однією квадратури. p> На Кінець, ЯКЩО відомо три частинні розвязка рівняння Ріккаті, то загальний розвязок находится взагалі без квадратур.
Дійсно, нехай,, - частинні розвязка рівняння Ріккаті. Тоді
В
суть два Частинами розвязків лінійного рівняння (18). Загальний розвязок рівняння (18) находится без квадратур:
(26)
Отже, в Розглянуто випадка загальний розвязок рівняння Ріккаті находится без квадратур. p> Замінюючі в рівності (26) функцію u ее значень Із формули (19), отрімаємо,
В
Розвязуючі Цю Рівність відносно С, Знайдемо загальний інтеграл рівняння Ріккаті у вігляді
(27)
Звідсі віпліває, что для будь-яких чотірьох Частинами розвязків рівняння Ріккаті має місце тотожність
. (28)
В§ 6. Спеціальне рівняння Ріккаті
Вище Було показано, як найти загальний розвязок рівняння Ріккаті у випадка, коли відомо один, два або три Частинами розвязка. Розглянемо один Частинами вид рівняння Ріккаті, в якому при деякій умові загальний розвязок віражається в Елементарна функціях, причому находится без попередня знання Частинами розвязків. Це рівняння має вигляд
(29)
де а, b і - Сталі числа. Рівняння (29) назівається спеціальнім рівнянням Ріккаті. Це рівняння Було Вівче Ріккаті у XVIII ст. (Вінсент Ріккаті (італ. Vincenzo de Riccati; 11 січня 1707, Кастель-Франко - 17 січня 1775, Тревізо)-італійський математик, іноземній почесний член Петербурзького АН з 17 січня 1760 року. Відомій як творець гіперболічніх функцій. Батько Вінсента Якопо Франческо Ріккаті (на честь Якого названо рівняння Ріккаті) БУВ одним з найбільшіх італійськіх математіків того годині. Ріккаті успадкував Батьківські Захоплення в области діференціальніх рівнянь). Віділімо два випадка, коли рівняння (29) інтегрується в елементарних функціях:
) тоді змінні розділяються:
В
); рівняння має вигляд:
(30)
Зробимо в (30) заміну змінної Тоді (30) набере вигляд:
або
Останнє рівняння є одноріднім, что інтегрується в квадратурі. Зауваження. До вигляд (30) приводитися більш загальне рівняння
...
