начні помилки при вимірюванні параметрів поточного стану погодних умов можуть призвести до абсолютно неправильним прогнозам про стан погоди в майбутньому. Ця істотна залежність від початкових умов лежить в основі математичної теорії хаосу.
Траєкторії часток броунівського руху, яким займалися Роберт Броун ще в 1828 році і Альберт Ейнштейн у 1905 році, являють собою приклад фрактальних кривих, хоча їх математичний опис було дано тільки в 1923 році Норбертом Вінером. У 1890 році Пеано сконструював свою знамениту криву - безперервне відображення, що переводить відрізок в квадрат і, отже, підвищує його розмірність з одиниці до двійки. Кордон сніжинки Коха (1904 рік), чия розмірність d »1,2618, - це ще одна добре відома крива, що підвищує розмірність.
Фрактал, жодним чином не схожий на криву, який Мандельброт назвав пилом - це класичне безліч Кантора (1875 або раніше). Це безліч настільки розріджене, що воно не містить інтервалів, але, тим не менш, має стільки ж точок, скільки інтервал. Мандельброт використав таку «пил» для моделювання стаціонарного шуму в телефонії. Фрактальна пил того чи іншого роду з'являється в численних ситуаціях. Фактично, вона є універсальним фракталом в тому сенсі, що будь фрактал - аттрактор системи ітерованих функцій - являє собою або фрактальну пил, або її проекцію на простір з більш низькою розмірністю.
Різні деревовидні фрактали застосовувалися не тільки для моделювання дерев-рослин, але і бронхіального дерева (повітроносні гілки в легенях), роботи нирок, кровоносної системи та ін Цікаво відзначити припущення Леонардо да Вінчі про те, що всі гілки дерева на даній висоті, складені разом, дорівнюють по товщині стовбура (нижче їх рівня). Звідси випливає фрактальна модель для крони дерева у вигляді поверхні-фрактала.
Багато чудові властивості фракталів і хаосу відкриваються при вивченні ітерованих відображень. При цьому починають з деякою функції у=/ (х) і розглядають поведінку послідовності f (х), f (f (х)), f (f (f (x))), ... У комплексній площині роботи такого роду сходять , по всій видимості, до імені Келі, який досліджував метод Ньютона знаходження кореня в додатку до комплексним, а не тільки речовим, функціям (1879). Чудового прогресу у вивченні ітерованих комплексних відображень домоглися Гастон Жюліа і П'єр Фату (1919). Природно, все було зроблено без допомоги комп'ютерної графіки. У наші дні, багато хто вже бачили барвисті постери із зображенням множин Жюліа і множини Мандельброта, тісно з ними пов'язаного. Освоєння математичної теорії хаосу природно почати саме з ітерованих відображень.
Вивчення фракталів і хаосу відкриває чудові можливості, як у дослідженні нескінченного числа додатків, так і в області чистої математики. Але в той же час, як це часто трапляється в так званої нової математики, відкриття спираються на піонерські роботи великих математиків минулого. Сер Ісаак Ньютон розумів це, кажучи: «Якщо я і бачив далі інших, те тільки тому, що стояв на плечах гігантів».
4. Застосування фракталів
Комп'ютерна графіка
Фрактали широко застосовуються в комп'ютерній графіці для побудови зображень природних об'єктів, таких, як дерева, кущі, гірські ландшафти, поверхні морів і т. д.
Фізика та інші природничі науки
У фізиці ...
