рівняння в першій мірі - лінійно, що і пояснює назву рівняння.
Якщо q (x) 0, то рівняння (3.1) називається лінійним однорідним рівнянням; якщо ж функція q (x) не дорівнює тотожно нулю, то рівняння (3.1) називається лінійним неоднорідним рівнянням.
Для лінійного рівняння першого порядку можна виписати спільне рішення за допомогою методу варіації постійною. Тут це рішення наводиться без виведення:
. (3.2)
Слід зазначити, що деякі нелінійні рівняння наводяться до лінійних рівнянь відповідними замінами невідомої функції у (х). До таких відноситься рівняння Бернуллі
, (3.3)
де р і q - безперервні функції, a n - деяке постійне число. При п= 0 маємо лінійне неоднорідне рівняння, а при n =1 - лінійне однорідне рівняння Нехай п ? 0, n ? 1. Введемо нову функцію
, (3.4)
тоді
.
Поділимо обидві частини рівняння (3.3) на:
.
Примножуючи обидві частини цього рівняння на (1 - n ), з урахуванням виразів для нової функції z і її похідної отримуємо лінійне диференціальне неоднорідне рівняння щодо невідомої функції z (x) :
. (3.5)
У цьому рівнянні, метод вирішення якого нам відомий, функція z ( x ) пов'язана з шуканої функцією у ( x ) співвідношенням (3.4).
4 . Застосування диференціальних рівнянь першого порядку в економіці
Завдання 4 . 1 Модель природного росту випуску [1].
Нехай y (t) - обсяг продукції деякої галузі, реалізованої до моменту часу t. Будемо вважати , що вся вироблена галуззю продукція реалізується за деякою фіксованою ціною р , тобто виконана умова ненасищаемості ринку. Тоді дохід до моменту часу t складе Y (t)=py (t).
Позначимо через I (t) величину інвестицій [см.словарь [1]] , що спрямовуються на розширення виробництва. У моделі природного зростання вважають, що швидкість випуску продукції (акселерація) пропорційна величині інвестицій, тобто
(t)=lI (t) (а)
(Тут нехтуємо часом між закінченням виробництва продукції та її реалізацією, тобто вважаємо, що інвестиційний лаг [см.словарь [2]] дорівнює нулю).
Вважаючи, що величина інвестицій I (t) становить фіксовану час...
