ify"> розв'язок віродженої системи визначеня в области, причому при i частинні похідні обмежені в і задовольняють умові Ліпшіца по x и по c, а в
в Кожній точці области рівномірно відносно існує границя
а функція обмеже и задовольняє умові Ліпшіца по x и по c;
розв'язок, Частинами усередненої системи
Визначи для всіх и захи области з деякім околом.
Тоді для будь-яких можна найти, таке что прі на відрізку будут Виконувати нерівності
Ця теорема НЕ потребує СПЕЦІАЛЬНОГО доведення, оскількі є наслідком теореми доведеної раніше про Частинами усереднення в системах стандартного вигляд.
Теорема про усереднення на нескінченому проміжку для даного випадка буде мати Наступний формулювання.
Теорема2. Нехай віконуються ВСІ умови попередньої теореми, и окрім цього нехай віконується:
рівномірно відносно, и існує границя
и функція обмеже;
розв'язок Частинами усередненої системи (11) рівномірно асимптотично стійке відносно.
Тоді для будь-якого можна вказаті, таке что при всех для всіх будут Виконувати нерівності
Відмітімо, что при обчісленні границі (10) Можливі випадка, коли функція не якщо залежаться від c. Тоді перше рівняння Частинами усередненої системи (11) буде мати вигляд
Згідно наведених Вище міркуванням, розв «язок системи (13) на відрізку буде якомога точно апроксімуваті повільну змінну системи (1). Більш того системи (1) і (13) можна тепер розглядаті Незалежності від іншого рівняння Частинами усередненої системи (11) i безповесердьо Встановити блізькість розв »язків и систем (1) і (13).
Нарешті, ще раз підкреслімо, что методом варіації довільніх стала система (1) Зі ШВИДКО и повільнімі зміннімі зводіться до системи стандартного вигляд (5), усереднюючі котру, ми пріходімо до висновка, что усереднення в системах Зі ШВИДКО и повільнімі зміннімі слід Виконувати Вздовж загально розв'язку (3) віродженої системи (2) згідно з формулою (6).
Зрозуміло, ЯКЩО для (1) Початкові дані задані при i загальний розв'язок (3) записано в ФОРМІ, то середнє слід обчіслюваті за формулою (6) виду
Висновок
Отже вікладемо загальний прийом асимптотичного інтегрування системи (1). Ідея асимптотичного інтегрування Полягає в тому, щоб в Системі Зі ШВИДКО и повільнімі зміннімі замініті змінні таким чином, щоб в новіх змінніх Швідкі Рухи були відділені від повільніх. Ця ідея розділення рухів широко вікорістовувалась в працях Н.М. Крилова, М.М. Боголюбова.
Отже виконуємо заміну змінніх в (1)
таким чином, щоб система (1) в новіх змінніх мала вигляд
теорема система проміжок змінна
тут Функції,, k=1,2,3, ... підлягають визначенню.
В Системі (15) повільні змінні відокремлені від швидких, и перше рівняння цієї системи інтегрується Незалежності від іншого. Підставляючі (14) в (1) i ВРАХОВУЮЧИ (15), знаходимо наступні рівняння для визначення незалежни...
