ає більше одного рішення, то серед них є і ненульові і в цьому випадку система називається нетривіально спільної. Застосувавши до матриці системи алгоритм гауссова винятку <# «107» src=«doc_zip5.jpg» />. (1.5)
Число r ненульових рядків у ступінчастою формі матриці називається рангом матриці, позначаємо r=rg (A)
Доведено, що серед нескінченної кількості рішень однорідної системи можна виділити рівно nr лінійно незалежних рішень.
Сукупність nr лінійно незалежних рішень однорідної системи називається фундаментальною системою рішень. Будь-яке рішення системи лінійно виражається через фундаментальну систему. Таким чином, якщо ранг r матриці A однорідної лінійної системи Ax=0 менше числа невідомих n і вектори e1, e2, ..., en-r утворюють її фундаментальну систему рішень (Aei=0, i=1,2, ... , nr), то будь-яке рішення x системи Ax=0 можна записати у вигляді
x=c1 e1 + c2 e2 + ... + cn-r en-r, (1.6)
де c1, c2, ..., cn-r - довільні постійні.
Записане вираз називається загальним рішенням однорідної системи.
В інженерній діяльності часто виникає необхідність описати у вигляді функціональної залежності зв'язок між величинами, заданими таблично або у вигляді набору точок з координатами (xi, yi), i=0,1,2, ... n , де n - загальна кількість точок. Як правило, ці табличні дані отримані експериментально і мають похибки. При апроксимації бажано отримати відносно просту функціональну залежність (наприклад, поліном), яка дозволила б «згладити» експериментальні похибки, отримати проміжні та екстраполяційні значення функцій, спочатку не містяться у вихідній табличній інформації.
модель кінематика алгоритм mathcad
Малюнок 1.1-Графічна інтерпретація апроксимації.
Ця функціональна (аналітична) залежність повинна з достатньою точністю відповідати початковій табличній залежності. Використовують критерій найменших квадратів, тобто визначають таку функціональну залежність, при якій S=(fi-yi) 2, звертається в мінімум.
(1.7)
Відшукання ж значень параметрів а0, а1, а2, ..., аn, які доставляють min значення функції.
Згідно [2, с.219] Рішення вираження зводиться до розв'язання системи рівнянь
(1.8)
Найбільш поширений спосіб вибору функції f (xk; а0, а1, а2, ..., аn) у вигляді лінійної комбінації:
(1.9)
Тут базисні функції (відомі); n << k; а0, а1, а2, ..., аn - коефіцієнти, що визначаються методом найменших квадратів.
(1.10)
Із системи лінійних рівнянь визначаються всі коефіцієнти ak. Система називається системою нормальних рівнянь, матриця якої має вигляд
(1.11)
1.3 Характеристика елементів системи Mathcad
Згідно [3, с.12] Система MathCAD є однією з найбільш потужних і ефективних систем математичного напряму. Вона орієнтована на широке коло користувачів і дозволяє виконувати математичні розрахунки, як в чисельному, так і в символьному аналітичному вигляді. Система має дуже зручний математико-орієнтований інтерфейс і володіє великими графічними можливостями.
Система MathCAD розроблена фірмою MathSof...
