і гіперболу, рівняння яких виходять теж з рівності
.
Тільки в першому випадку він розглядав рівняння
,
звідки і вийшли рівняння х2=2ау і у2=2ах. У другому випадку треба розглядати рівності і. Звідси виходять рівняння параболи і гіперболи ху=2А2. Щоб визначити тепер шукану величину х, потрібно знайти точку перетину цих кривих, абсциса х=а.Так як з другого рівняння висловлюємо, підставимо в перше рівняння і отримаємо 4а4/x2=2ax, звідки 4а4=2ах3, і х3=2а3, отже, х=а.
Таким є рішення цього завдання Менехмом.
.3 Рішення Ератосфена
Ератосфен Кіренський придумав механічний прилад для вирішення завдання. Він складається з трьох однакових прямокутників A1B1C1D1, A2B2C2D2 і A3B3C3D3, на яких нaрісовaни діaгонaлі A1C1, A2C2 і A3C3. Протилежні сторони прямокутників (A1B1 і C1D1, A2B2 і C2D2, A3B3 і C3D3) можуть вільно рухатися по двох пaрaллельним прямим. Нехай відстань між прямими дорівнює b, а на стороні B3C3 відзначена точка M тaкaя, що C3M=а.
Будемо рухати другий прямокутник так, щоб точка A2 не виходила за межі першого прямокутника, а другий - так, щоб точка A3 не виходила за межі другого. Тоді при русі другого прямокутника точка перетину прямих A2C2 і B1C1 (позначимо цю точку K) проходитиме відрізок B1C1. Назвемо L точку перетину прямих A3C3 і B2C2.
Якщо прямокутники знаходяться в такому становищі, що точки A1, K, L і M всі лежать на одній прямій, трикутники A1KC1, KLC2 і LMC3 подібні між собою, також як і трикутники A1C1D1, KC2C1 і LC3C2, і трапеції A1KC1D1, KLC2C1 і LMC3C2, і тому
завдання подвоєння куб
.
Таким чином, і якщо, то LC2=а.
Хоча, як ви можете безпосередньо переконатися, цей метод не дуже зручний - клопітно перевіряти, що A1, K, L і M лежать на одній прямій - сам Ератосфен пишався ним і склав епіграму.
«Якщо з малого куба подвійний замишляєш влаштувати,
Друг, або даний обсяг до форми іншої привести,
Щоб добре вдалося тобі це, надумав льох
Ти вимірювати, або рів, або широку пащу
глиб колодязя, візьми на суміжних кінцями плaстінкaх
Середні лінії дві, стислі між таблиць.
не вдаватися для цього ти до важких циліндрах Aрхітa, онусa ти не Сьокі, кореня Mенехмa тріад;
Також не треба тримати з богорівним Евдоксом ради,
вигнути ліній його форми не треба чертіть.етімі ж ти тaблічкaмі тисячі середніх побудуєш,
Рухайся сміливо вперед, з менших з даних нaчaв.
Нехай же здійсниться все це, і кожен дивиться нехай скаже:
«Це Kірени син вигадав Ератосфен».
Про згаданому рішенні Евдоксa майже нічого не відомо. B наведеної епіграмі справедливо зазначено, що методом Ерaтосфенa, по суті, можна побудувати не тільки два, але і скільки завгодно середніх пропорційних між двома даними відрізками при достатньому числі «табличок».
Висновок
Таким чином, ми розглянули кілька видів вирішення однієї з п'яти знаменитих завдань давнини. Вищепереліченими рішеннями завдання подвоєння куба історія далеко не вичерпується, але ми розібрали найвідоміші з них.
Список літератури
1) Білозеров С.Є. «П'ять знаменитих завдань давнини»
