ульові значення параметрів, а сам коефіцієнт характеризує середнє значення показника за відсутності впливів параметрів.
Аналіз рівняння (1.1) і методика визначення параметрів стають більш наочними, а розрахункові процедури істотно спрощуються, якщо скористатися матричної формою запису:
(1.2).
Де - вектор залежної змінної розмірності п ? 1 , що представляє собою п спостережень значень.
- матриця п спостережень незалежних змінних, розмірність матриці дорівнює п ? (k +1). Додатковий фактор, що складається з одиниць, вводиться для обчислення вільного члена. У якості вихідних даних можуть бути тимчасові ряди або просторова вибірка.
- кількість факторів, включених в модель.
a - підлягає оцінюванню вектор невідомих параметрів розмірності ( k +1) ? 1
- вектор випадкових відхилень (збурень) розмірності п ? 1. відображає той факт, що зміна буде неточно описуватися зміною пояснюють змінних, так як існують і інші чинники, невраховані в даній моделі.
Таким чином,
Y =, X =,, a =.
Рівняння (1.2) містить значення невідомих параметрів a 0 , a 1 , a 2 , ..., a k .
Ці величини оцінюються на основі вибіркових спостережень, тому отримані розрахункові показники не є істинними, а являють собою лише їх статистичні оцінки.
Модель лінійної регресії, в якій замість істинних значень параметрів підставлені їх оцінки (а саме такі регресії і застосовуються на практиці), має
, (1.3)
де A - вектор оцінок параметрів; е - вектор «оцінених» відхилень регресії, залишки регресії е=Y - ХА ;-Оцінка значень Y , рівна ХА.
Побудова рівняння регресії здійснюється, як правило, методом найменших квадратів (МНК), суть якого полягає в мінімізації суми квадратів відхилень фактичних значень результатного ознаки від його розрахункових значень, тобто:
.
Формулу для обчислення параметрів регресійного рівняння за методом найменших квадратів наведемо без виведення
(1.4).
Для того щоб регресійний аналіз, заснований на звичайному методі найменших квадратів, давав найкращі з усіх можливих результати, повинні виконуватися такі умови, відомі як умови Гаусса - Маркова.
Перша умова. Математичне сподівання випадкової складової в будь-якому спостереженні має дорівнювати нулю . Іноді випадкова складова буде позитивною, іноді негативною, але вона не повинна мати систематичного зсуву ні в одному з двох можливих напрямків.
Фактично якщо рівняння регресії включає постійний член, то зазвичай ця умова виконується автоматично, так як роль константи полягає у визначенні будь-якої систематичної тенденції, яку не враховують пояснюючі змінні, включені в рівняння регресії.
Друге умова означає, що дисперсія випадкової складової повинна бути постійна для всіх спостережень . Іноді випадкова складова буде більше, іноді менше, однак не повинно бути апріорній причини для того, щоб вона породжувала велику помилку в одних спостер...
