я функції у вузлових точках
y2=y1 + hf (x1, y1)=1,1 + 0,1 · (0,12 + 1,1)=1,211=y2 + hf (x2, y2)=1,211 + 0,1 · (0,22 + 1,211)=1,3361
сіткової функції записуємо у вигляді таблиці
x 0 0,1 0,2 0,3
y 1 1,1 1,211 1,3361
Програма розв'язання задачі Коші методом Ейлера дана на рис. 6.2.
CLSLR - 6-1, m=13, n=5FNY (X, Y)=X ^ 2 + Y0, 0.3, 1, 0.1A, B, Y0, HA; Y0=A: Y=Y0
Y=Y + FNY (X, Y) * H=X + HX; YX lt; B THEN 1
Рис. 6.2. Програма вирішення задачі Коші методом Ейлера.
6.2 Модифікований метод Ейлера
Модифікований метод Ейлера дозволяє зменшити похибку на кожному кроці до величини O (h3) замість O (h2) в звичайному методі (6.6). Запишемо розкладання функції в ряд Тейлора у вигляді:
yi + 1=yi + h y? i + h2/2 y ?? i + O (h3). (6.7)
Апроксимуємо другу похідну за допомогою відношення кінцевих різниць: y ?? i=(y? i + 1 - y? i)/h.
Підставляючи це співвідношення в (6.7) і нехтуючи членами порядку O (h3), отримуємо:
yi + 1=yi + h/2 [f (xi, yi) + f (xi + 1, yi + 1)]. (6.8)
Отримана схема є неявній, бо шукане значення yi + 1 входить в обидві частини співвідношення (6.8) і його не можна виразити явно. Якщо є гарне початкове наближення yi, то можна побудувати рішення з використанням двох ітерацій наступним чином. Спочатку за формулою (6.6) обчислюють перше наближення y} i + 1
y} i + 1=yi + h f (yi, xi). (6.9)
Знайдене значення підставляється замість yi + 1 в праву частину співвідношення (6.8) і знаходиться остаточне значення
yi + 1=yi + h [f (xi, yi) + f (xi + 1, y} i + 1)]/2, i=0,1, ..., n- 1. (6.10)
На рис. 6.3 дана геометрична інтерпретація першого кроку обчислень при вирішенні задачі Коші модифікованим методом Ейлера.
y
} 1
x0 h/2 h/2 x1 x
Рис. 6.3. Модифікований метод Ейлера.
Приклад: Вирішити задачу Коші модифікованим методом Ейлера для диференціального рівняння
y? =x2 + y, y (0)=1 на відрізку [0; 0,3] з кроком 0.1.
Рішення: За формулою (6.9) обчислимо перше наближення y} 1
y} 1=y0 + hf (x0, y0)=1 +0,1 (02 +1)=1,1
Використовуючи формулу (6.10), знаходимо остаточне значення в точці x1=0.1
y1=y0 + h [f (x0, y0) + f (x1, y} 1)]/2=1 + 0,1 · (02 + 1 + 0,12 + 1, 1)/2=1,1055
Аналогічно обчислюються наступні значення функції у вузлових точках
y} 2=y1 + hf (x1, y1)=1,1055 + 0,1 · (0,12 + 1,1055)=1,21705=y1 + h [f (x1 , y1) + f (x2, y} 2)]/2=
=1,1055 + 0,1 · (0,12 + 1,1055 + 0,22 + 1,21705)/2=1,224128} 3=y2 + hf (x2, y2 )=1,224128 + 0,1 · (0,22 + 1,224128)=1,350541=y2 + h [f (x2, y2) + f (x3, y} 3)]/2=
=1,224128 + 0,1 · (0,12 + 1,224128 + 0,22 + 1,350541)/2=1,355361
сіткової функції записуємо у вигляді таблиці
x 0 0.1 0.2 0.3
y 1 1.1055 1,224128 1,355361
Програма розв'язання задачі Коші модифікованим методом Ейлера дана на рис. 6.4.
CLSLR - 6-2, m=13, n=5FNY (X, Y)=X ^ 2 + Y0, 0.3, 1, 0.1A, B, Y0, HA; Y0=A: Y=Y0
Y1=Y + FNY (X, Y) * H=Y + H * (FNY (X, Y) + FNY (X + H, Y1))/2=X + HX; YX lt; B THEN 1
Рис. 6.4. Програма вирішення задачі Коші модифікованим методом Ейлера.
Існують і інші однокрокові методи. Найбільш поширеним з них є метод Рунге-Кутта.
6.3 Метод Рунге-Кутта
На основі методу Рунге-Кутта можуть бути побудовані різницеві схеми різного порядку точності. Найбільш уживаною є наступна схема четвертого порядку:
yi + 1=yi + (k0 + 2k1 + 2k2 + k3)/6. (6.11)
де
k0=h f (xi, yi),
k1=hf (xi + h/2, yi + k0/2),=hf (xi + h/2, yi + k1/2), (6.12) 3=hf (xi + h, yi + k2).
Таким чином, метод Рунге-Кутта вимагає на кожному кроці чотириразового обчислення правої частини рівняння. Однак це окупається підв...
