функцією, визначальною внесок джерела забруднення f в величину забруднення атмосфери у виділеній підобласті W. Таким чином, пов'язані завдання грають важливу роль у вирішенні проблем екологічного прогнозування. Вони також дозволяють визначити репрезентативні місця спостережень з метою створення системи контролю екологічної ситуації.
Парні завдання дедалі активніше починають проникати в різні галузі математики та її застосування. Саме з їх допомогою вдається впритул підійти до проблем оптимального управління.
2. Методи рішення прямий і сполученої завдань
Чисельне моделювання проблем розповсюдження забруднюючих речовин проводиться найчастіше на основі використання різницевих схем.
Запишемо поставлену в 1.1 задачу операторном вигляді [6], т.е.
, в області,
де. Тут,
,, в D при t =0.
Для вирішення цього завдання вводиться сіткова область. Щоб побудувати наближене рішення, необхідно замінити вихідну диференціальну задачу деякої конечномерной дискретної завданням, зазвичай представляє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) для компонентів вектора. Однієї і тієї ж диференціальної задачі можна поставити у відповідність безліч різних дискретних моделей, проте, далеко не всі з них придатні для практичної реалізації. Питання побудови різницевих схем детально розглянуті в [6,11].
Апроксимацію цього завдання проведемо в два етапи. Спочатку апроксимуємо її в області по просторовим змінним. У результаті приходимо до рівняння, диференціальному за часом і разностному по просторовим змінним. В отриманій диференційно-різницевої задачі в ряді випадків легко виключити рішення в граничних точках області за допомогою різницевих апроксимацій граничних умов. Припускаючи, що це зроблено, приходимо до еволюційного рівняння виду
. (2.1)
Співвідношення (2.1) є системою звичайних диференціальних рівнянь для компонентів вектора. Надалі індекс ставити не будемо, вважаючи що (2.1) є різницевий аналог по просторовим змінним вихідної задачі.
З урахуванням викладеного розглянемо задачу Коші
, при. (2.2)
Розглянемо найпростіші методи апроксимації задачі (2.2) за часом, вважаючи, що не залежить?? т часу. Одна з них - явна схема першого порядку апроксимації на сітці
(2.3)
Неявна схема першого порядку апроксимації має вигляд
(2.4)
Це схеми першого порядку апроксимації (у припущенні, що існують другі похідні за часом функції).
Схема Кранка - Ніколсон має вигляд [6]:
(2.5)
Ця схема апроксимує вихідну задачу з другим порядком за часом.
При цьому схема (2.3) буде стійка при виконанні певної умови, наприклад, якщо - симетрична позитивно певна матриця з власними числами з інтервалу [ з , b ], а задовольняє співвідношенням.
Розглянемо метод розщеплення, застосовуваних при вирішенні двовимірних задач, що описують процеси різної природи. Розглянуте еволюційне рівняння має вигляд (2.1) в. Оператор не залежить від часу і представимо у вигляді за умови, що. Будемо вважати, що це завдання вже редукована до різницевого увазі. Розглянемо так званий метод стабілізації. Для цього розглянемо разностную схему рішення (2.1) в припущенні f=0 :
. (2.6)
Ця схема апроксимує вихідну задачу з другим порядком апроксимації по.
За допомогою ряду перетворень (2.6) приводиться до вигляду
(2.7)
Звідси видно, що (2.7) при достатній гладкості рішення збігається зі схемою Кранка - Ніколсона, тобто має другий порядок апроксимації по.
Ця різницева схема допускає зручну комп'ютерну реалізацію.
У разі неоднорідною завдання
при t =0. (2.8)
У цьому випадку завдання запишеться наступним чином:
(2.9) де
. (2.10)
За умови (2.10) схема (2.8) буде володіти другим порядком апроксимації по.
Розглянемо перший етап, який відповідає перенесенню. Розіб'ємо весь проміжок [0, T ] на елементарні. Перенесенню відповідає наступний оператор:
.
Відповідний різницевий аналог мають вигляд
,
де - кроки сітки уздовж відповідних осей.
Розглянемо наступний етап, відповідний дифузії. А саме будемо розглядати оператор
.
Різницевий аналог оператора буде мати вигляд
.
За при цьому приймається рішення задачі на попередньому етапі (коли розглядалося тільки перенесення).
На третьому етапі розглядається трансфор...
