1 X 2 X 3 ... XN 1 + ---- +++ (-1) N 2 ++ ---- + - (- 1) N - 1 +3 + - + ---- + (- 1) N - 1
Дисперсія експериментальних точок щодо побудованої поверхні регресії оцінюють за допомогою виразу
,
де n - число спостережень;
m - число незалежних змінних.
Оцінки b0, b1, ..., bm нормально коррелірованни і мають дисперсії, оцінки яких розраховуються за рівністю
.
Значимість знайдених оцінок bi визначають, зіставляючи відносини
з табличним значенням t для заданого? при числі ступенів свободи f=nm - 1.
Для перевірки гіпотези про лінійність зв'язку розраховують відношення
,
де - дисперсія y, обумовлена ??регресією y на x1, x2, ..., xm і рівна
.
Ставлення F порівнюють з табличним значенням F? для заданого? при числі ступенів свободи чисельника fp=m і знаменника f=nm - 1. Якщо величина відношення дорівнює або більше табличного значення F, то гіпотеза про лінійність зв'язки не суперечить отриманими даними.
. Чисельні методи розв'язання стандартних завдань
Чисельне інтегрування.
Якщо функція f (x) неперервна на відрізку [a, b] і відома її первообразная F (x), то визначений інтеграл від цієї функції в межах відрізка [a, b] може бути обчислений аналітично по формулою Ньютона-Лейбніца:
Однак, у багатьох випадках первообразная функція F (x) не може бути визначена або ж функція f (x) може бути задана тільки у вузлах деякої сітки. Оскільки при вирішенні крайових задач математичної фізики такі ситуації зустрічаються досить часто, важливого значення набувають чисельні методи обчислення визначених інтегралів.
Більшість чисельних методів обчислення визначених інтегралів засновані на тому, що в межах інтервалу інтегрування апріорі вибирають точки, зазвичай рівновіддалені один від одного, а потім будується поліном значення якого точно збігаються зі значеннями функції в цих точках. Зокрема, в якості такого полінома може бути вибраний інтерполяційний поліном Лагранжа, загальна форма запису якого має вигляд
,
де - значення функції, яка описує підінтегральний вираз у вузлі з номером i;
- функція, значення якої дорівнює 1 у вузлі з номером i, а у всіх інших вузлах дорівнює 0. Ця функція може бути записана у вигляді
.
Вважається, що чим більше порядок полінома Лагранжа (більше величина n), тим точніше визначається значення інтеграла. Однак на практиці, як правило, використовують поліноми Лагранжа не вище третього ступеня, підвищення точності обчислень домагаються за рахунок збільшення дискретизації області інтегрування.
Серед методів чисельного інтегрування, заснованих на описаних вище принципах найбільш відомі формула трапецій (n=1):
.
Наведені формули записані для випадку інтегрування в межах відрізка з межами - 1 ... 1. Тим не менш, вони володіють достатньою спільністю, так як шляхом заміни змінних кордону інтегрування завжди можна привести до такого виду.
Підвищити точність чисельного інтегрування можна також за рахунок оптимізації розбиття області інтегрування на вузли (формули трапецій, Сімпсона і т.п. припускають рівномірний розбиття області інтегрування). Виявляється, що найвища точність обчислення досягається в тому випадку, коли в якості координат вузлів вибираються корені полінома Лежандра.
поліномів Лежандра називається поліном виду
До найважливіших властивостей поліномів Лежандра відносяться:
. ;
.
де - будь поліном ступеня k, меншою n;
. має n різних і дійсних коренів, які розташовані на інтервалі (- 1, 1).
У цьому випадку формула чисельного інтегрування називається квадратурної формулою Гаусса. Застосування формули Гаусса дозволяє істотно зменшити кількість точок інтегрування, необхідне для досягнення заданої точності обчислень, скорочуючи тим самим витрата машинного часу при вирішенні складних завдань за допомогою комп'ютера. У нижчеподаній таблиці вказані абсциси точок інтегрування і вагові коефіцієнти квадратурної формули Гаусса.
Таблиця 2. Елементи формули Гаусса
n123456i11; 21; 3 21; 2 квітня; 31; 5 лютого; 31 квітня; 2 червня; 5 Березня; 40 ± 0,57735 ± 0,7746
± 0,86114
± 0,33998 ± 0,90618
± 0,53847
± 0,93247
± 0,66121
± 0,23862210,55556
, 888890,34785
, 652150,23693
, 47863
, 568890,17132
, 36076
0,46791
Викладений матеріал, що стосується квадратурної формули Гаусса також справедливий для інтервалу інтегрування з межами - 1 ... 1.
...
