. Рішення систем лінійних рівнянь
Розглянемо систему n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими:
матрицю з коефіцієнтів системи, через
стовпець з невідомих, через
стовпець вільних членів. Тоді система лінійних рівнянь стисло може бути записана у вигляді матричного рівняння
Для знаходження коренів цього рівняння досить помножити обидві його частини зліва на матрицю, зворотну матриці. У результаті отримаємо.
Розкриваючи це вираження, одержуємо відому з курсу алгебри формулу Крамера для знаходження коренів системи лінійних рівнянь. Однак ця формула застосовна в основному для ручного рахунку, коли число рівнянь системи не перевищує чотирьох. При використанні цієї методики для вирішення систем з великим числом рівнянь і з використанням комп'ютерної техніки точність одержуваних результатів може виявитися недостатньою через накопичення помилок округлення при численному обчисленні визначників.
. Теоретичні основи моделювання металургійних процесів і об'єктів
У багатьох практично важливих випадках поряд зі зміною параметрів поля (температурного, силового і т.п.) у часі відбувається їх суттєва зміна також в просторі. Математичним апаратом для опису таких об'єктів, званих об'єктами з розподіленими параметрами, є диференціальні рівняння в приватних похідних. Загальний вигляд такого рівняння наступний
.
Залежно від знака дискримінанта D=AC-B2 отримують один з наступних типів рівнянь: еліптичне (D gt; 0), параболічне (D=0), гіперболічне (D lt; 0) і змішане [D не змінює знак в області, обмеженої кривою F (x, y)=0].
Рівняння еліптичного типу (рівняння Пуассона) має наступний вигляд
.
При F (x, y)=0 маємо окремий випадок - рівняння Лапласа.
Рівняння параболічного типу (рівняння теплопровідності і дифузії)
описує, зокрема, нестаціонарне розподіл температури уздовж тонкого однорідного стрижня.
Рівняння гіперболічного типу (хвильове рівняння)
описує, зокрема, поперечні коливання струни в кожному з перетинів x в часі.
Застосовність рівняння відповідного виду визначається насамперед фізичними властивостями конкретного об'єкта, а також характером впливу зовнішнього середовища (граничними умовами). У ряді випадків такі рівняння вдається отримати шляхом аналітичних міркувань. Як приклад такого підходу можна взяти висновок рівняння теплопровідності. Внаслідок ж подібності процесів теплопередачі і дифузії, що описують їх рівняння по вигляду аналогічні рівнянням теплопровідності, що можна бачити з порівняння з рівнянням дифузії
,
де С - концентрація речовини;
D - коефіцієнт дифузії;
fс - щільність джерел речовини, наприклад, кількість речовини,
утворюється в результаті хімічних реакцій в одиниці об'єму в одиницю часу.
Рівняння відноситься до молекулярного переносу в нерухомому середовищі і справедливо для ізотермічного процесу і випадку, коли дифузія даного компонента не залежить від дифузії інших компонентів. У цих умовах залежність коефіцієнта дифузії від температури T, в'язкості середовища h і радіуса диффундирующих молекул r визначається формулою Стокса-Ейнштейна
,
де R і N0 - газова постійна і число Авогадро.
Між кількістю тепла q, вступникам в систему, роботою і зміною внутрішньої енергії існує співвідношення
,
або для нескінченно малих збільшень
.
Ці співвідношення і є вираженням першого закону термодинаміки, який свідчить, що кількість тепла, отримане системою, так само збільшення її внутрішньої енергії і виробленої нею роботи.
При ізобаріческом процесі (p=const), враховуючи, що, з першого закону термодинаміки отримуємо
.
Таким чином, надавало системі тепло витрачається на приріст функції U + pV, яка називається ентальпією і визначається тотожністю
. Чисельне рішення крайових задач математичної фізики методом кінцевих різниць
Розгляд способів побудови і основних властивостей різницевих схем почнемо з задачі теплопровідності, що виникає при розрахунку симетричного нагріву нескінченної пластини товщиною 2d. Використовуючи властивість симетрії температурного поля, помістимо початок координат y=0 в точку, що лежить в середній площині пластини, і виберемо як розрахункової області G інтервал 0 lt; y lt; d, відповідний половині товщини пластини. Тоді рівняння теплопровідності, що описує нагрів пластини, приймає вигляд
, 0 lt; y lt; d.
Припускаючи, що в початковий момент часу тіло є рівномірно прогрітим до температур...
