яду прагне до нуля, то досить показати, що сходиться ряд з розставленими дужками:
Розглянемо часткову суму ряду з розставленими дужками:
3.5 Перемноження рядів
Дві суми з кінцевого числа доданків перемножуються почленно. Для нескінченного числа доданків необхідно формалізувати процес перемноження.
Організуємо нескінченну матрицю з чисел. Нехай - правило обходу матриці, за яким матрицю можна розгорнути в рядок, тобто ряд, суму якого можна порахувати (при збіжності такого ряду).
Якщо сума такого ряду дорівнює добутку сум вихідних рядів, то кажуть, що два ряди можна перемножити за способом.
Найважливіший спосіб перемножения - спосіб Коші твори по діагоналі:
Теорема:
Нехай позитивні ряди абсолютно сходяться і мають суми і. Тоді їх можна перемножити будь-яким способом.
Доказ:
Використовуючи позитивність рядів, ведемо міркування для досить великої кількості доданків часткових сум.
Так як в будь-яку наперед задану клітку ми потрапимо, то ясно, що через деякий кількість кроків всі клітини деякого лівого верхнього квадрата вже будуть пройдені.
Сума елементів квадрата не перевищує часткової суми, яка, в свою чергу не перевершує суми елементів окаймляющего квадрата. Але, якщо спрямувати до нескінченності, то часткова сума ряду за принципом стислій змінної прагне до, що потрібно було довести.
Теорема:
Нехай ряди з абсолютно сходяться і мають суми і. Тоді їх можна перемножити будь-яким способом.
Доказ:
Визначимо як суму допоміжного ряду, як суму. Аналогічно визначаємо і.
За визначенням,. Розкладаючи ряд по лінійності на суму позитивних творів допоміжних рядів і приходимо до шуканого твердженням.
При перемножуванні рядів за правилом Коші, можна послабити вимоги на збіжність рядів. Встановимо наступну теорему:
Теорема (Мертенс):
Нехай ряд з - абсолютно збіжний, а ряд з - умовно збіжний. Тоді ці два ряди можна перемножити за способом Коші.
Доказ:
Для зручності нумеруем доданки рядів і, починаючи з нуля.
Нехай. Тоді сума - часткова сума добутку рядів за правилом Коші.
Якщо довести, що, то з останньої рівності виходить шукане.
Перекинувши індекси в сумі, отримуємо:
Позначимо два доданки в останній сумі як і. Послідовність - нескінченно мала, значить вона обмежена, нехай числом. Тоді
.
Так як ряд абсолютно сходиться, то сума прагне до нуля при. Значить, починаючи з якогось номера вона не перевершить. Разом,.
.
, отже, сума прагне до нуля.
4. Історична довідка
Вирішення багатьох завдань зводиться до обчислення значень функцій і інтегралів або до вирішення диференціальних рівнянь, що містять похідні або диференціали невідомих функцій.
Однак точне виконання зазначених математичних операцій у багатьох випадках виявляється вельми скрутним або неможливим. У цих випадках можна отримати наближене рішення багатьох завдань з будь-якої бажаної точністю за допомогою рядів.
Ряди представляють собою простий і досконалий інструмент математичного аналізу для наближеного обчислення функцій, інтегралів і рішень диференціальних рівнянь.
Теорія рядів створювалася в тісному зв'язку з теорією наближеного представлення функцій у вигляді многочленів. Вперше це зробив І. Ньютон (+1642 - 1727). в 1676г. У його листі до секретаря Лондонського Королівського Товариства з'явилася формула:
,
яку ми знаємо як формулу бінома Ньютона.
Тут ми бачимо функцію, представлену у вигляді многочлена. Але якщо число не є натуральним, в правій частині рівності виходить не поліном, а нескінченна сума доданків, тобто ряд.
Розвиваючи ідею Ньютона, англійський математик Брук Тейлор (1685 - 1731) в 1715г. довів, що будь-якої функції, що має в точці похідні всіх порядків, можна зіставити ряд:
.
Ми не можемо поки поставити знак рівності між функцією, приймаючої кінцеве значення для будь-якого значення, і вартим праворуч функціональним...
