f (x) = Lx + M. p>
ТЕОРЕМА 3 (Коші) . Нехай функції f: [a, b] В® R, g: [a, b] В® R задовольняють умовам: 1) f, gГЋC [a, b], 2) "xГЋ (a, b) існують проізводниеі f / і g /, 3) "xГЋ (a, b) g / (x) В№ 0. p> Тогдаі $ CГЋ (a, b): (f (b)-f (a))/(g (b)-g (a)) = f / (C)/ g / (C). p> Теорема Лагранжа - це окремий випадок теореми Коші при g (x) = x, xГЋ [a, b].
Завдання 1.5. Довести, що для будь-яких x, y ГЊ R: ВЅ sin x - sin y ВЅ ВЈ ВЅ x-y ВЅ; x, y ГЊ R: ВЅ ; cos x - cos y ВЅ ВЈ ВЅ x-y ВЅ; x, y ГЊ R: ВЅ arctg x - arctg y ВЅ ВЈ ВЅ x-y ВЅ;
x, y ГЊ [1; + ВҐ): ВЅ Г–x - Г–y ВЅ ВЈ 0.5 ВЅ x-y ВЅ. p> Доказ цих нерівностей аналогічне. Тому розглянемо доказ першого нерівності. Нехай, наприклад x
$ CГЋ (x, y): ВЅ sin x - sin y ВЅ = ВЅ cos C ВЅ (x-y). Враховуючи нерівність ВЅ cos u ВЅ ВЈ 1, uГЋR, отримаємо необхідну нерівність. p> Завдання 1.6. Довести, що для будь-якого x ГЊ R: e x Ві 1 + x, причому рівність може бути тоді і тільки тоді, коли x = 0.
Нехай спочатку x> 0. По теоремі Лагранжа для функції f (u) = e u , uГЋ [0, x],
$ CГЋ (0, x): e x - e 0 = e C (x-0)> x, так як e C > 1 для C> 0. Якщо x <0, то теорему Лагранжа використовуємо для функції f (u) = e u , uГЋ [x, 0]. Маємо $ CГЋ (x, 0): e 0 - e x = e C (0-x) <-x, так як-x> 0, а e C <1 для C <0. Таким чином, при x В№ 0 маємо e x > 1 + x. p> Завдання 1.7. Довести, що для будь-якого x> 0: e x > 1 + x + (x 2 /2) .
Для докази нерівності застосуємо теорему Коші до функцій
f (u) = e u , g (u) = 1 + u + (u 2 /2), uГЋ [0, x]. Отримаємо $ CГЋ (0, x): (e x - e 0 )/(1 + x + (x 2 /2) - 1) = e C /(1 + c). Враховуючи доведене нерівність, знайдемо (e x -1)/(x + (x 2 /2))> 1, звідки e x > 1 + x + (x 2 /2).
Завдання 1.8. Довести, що для 0 (2/p) x.
Нехай f (x) = (sin x)/x (0 / (x) = cos x (x-tg x)/x 2 (0 f (p/2) = 2/p, якщо 0
Завдання 1.9. Довести, що при x> 0 виконується cos x> 1 - (1/2) x 2 . p> Функція f (x) = cos x -1 + (1/2) x 2 дорівнює 0 при x = 0. Її похідна, при x> 0,
f / (x) = -Sin x + x> 0 (або sin x f (0) = 0, тобто cos x> 1 - (1/2) x 2 .
Звідси, аналогічно при x> 0 отримаємо sin x> x-(1/6) x 3 . p> Задача 1.10. Довести, щ...
