ом.
Позначимо і отримаємо, т.е ці рішення рівносильні.
Спосіб 3.
Ще один спосіб спирається на теорему:
Нехай - довільне рішення диофантова рівняння
,, тоді
безліч рішень рівняння в цілих числах співпадає з безліччю пар, де,, де t - будь-яке ціле число.
Доказ цього нескладного факту можна знайти, наприклад, у книзі Бухштаб [2, стор 114].
Знову ж приватне рішення можна легко відшукати за допомогою алгоритму Евкліда.
В
4. Знаходження рішень довільного ЛДУ.
Перейдемо тепер до вирішення ЛДУ з невідомих, тобто рівнянь виду
В
де все коефіцієнти і невідомі - цілі числа і хоча б одне. Для існування рішення по теоремі 2, необхідно, щоб
Поклавши <В
перейдемо до рівносильне рівняння
(*),
де. Нехай, - два ненульових числа, таких, що Для визначеності припустимо, що,В Розділивши з залишком на, одержимо уявлення. Замінивши на в рівнянні (*), наведемо його до увазі
В
Перепишемо це рівняння у вигляді
(**) p> де
,.
Очевидно, що рішення рівняння (*) і (**) пов'язані між собою взаємно однозначним відповідністю та, таким чином, вирішивши рівняння (**), нескладно знайти всі рішення рівняння (*). З іншого боку зазначимо, що
В
Зазначимо також, що
В
Отже, за кінцеве число кроків рівняння (*) приведеться до виду
(***)
де числа ( i = 1, ..., n ), які не рівні нулю, рівні між собою за абсолютною величиною. Зі співвідношення випливає, що числа можуть приймати тільки значення 0, В± 1, причому не всі з них дорівнюють нулю. Припустимо, для визначеності,. Тоді рівняння (***) Має наступне рішення:
В
де t 2 , t 3 , ..., T n - довільні цілі числа. Звідси, враховуючи проведені заміни, виходить і рішення рівняння (*). Зазначимо, що при отриманні рішення рівняння (***) використовувався лише факт, що, тому, при виконанні алгоритму можна зупинитися на тому кроці, коли хоча б один з коефіцієнтів стане рівним В± 1. h2> 5. Приклади рішень завдань.
1). Вирішити в цілих числах рівняння
4 x - 6 y + 11 z = 7, (4,6,11) = 1. p> Розділивши із залишком -6 на 4, отримаємо -6 = 4 (-2) + 2. Уявімо вихідне рівняння в вигляді
4 ( x - 2 y ) + 2 y + 11 z = 7. p> Після заміни x п‚ў = x - 2 y це рівняння запишеться наступним чином
4 x п‚ў + 2 y + 11 z = 7. p> Враховуючи, що 11 = 2.5 + 1, перетворимо останнє рівняння:
4 x п‚ў + 2 ( y + 5 z ) + z = 7. p> Поклавши y п‚ў = y + 5 z , отримаємо
4 x п‚ў + 2 y п‚ў + z = 7. p> Це рівняння має наступне рішення: x п‚ў, y п‚ў - довільні цілі числа, z = 7 - 4 x п...
