явленія події. Визначимо випадкову величину як биномиальное, якщо для неї ми розраховуємо число успіхів і неуспіхів у послідовності n випробувань Бернуллі.
Випадкова величина, для якої обчислюється число успіхів у n повторних випробуваннях, де р - Ймовірність успіху в будь-якому із заданих випробувань, aq = (1-р) - відповідна ймовірність неуспіху, підкоряється закону біноміального розподілу з параметрами n і р.
Всі можливі результати даного експерименту називаються елементарними подіями, а безлічі складені з них - подіями. Таким чином можна розбити всі безліч фіналів на благоприятствующие даній події (тобто входять до нього) і не благоприятствующие. Безліч всіх результатів позначають, а події - заголовними латинськими літерами.
Класичне визначення ймовірності. Ймовірністю події називається відношення числа всіх результатів на число сприятливих події фіналів і позначають, тобто
,
де - число всіх результатів експерименту,-число сприятливих події фіналів. Це так звана класична схема.
Нехай деякий експеримент повторюється раз.
Схема Бернуллі має місце при дотриманні трьох умов.
1. Кожне повторення має два результату.
2. Повторення незалежні. p> 3. Ймовірність появи події постійна і не змінюється при повтореннях.
Тоді ймовірність появи події разу при випробуваннях можна знайти за формулою
,
де - число сполучень з елементів по,.
Якщо події такі, що
1. попарно не перетинаються, тобто. при
2. , p> то кажуть що вони утворюють повну групу подій.
Теорема (формула повної ймовірності). Якщо - Повна група подій і, то
.
Теорема (формула Байєса) Якщо - повна група подій і, то
,
Випадковою величиною називають будь-яку числову функцію задану на множині. Випадкові величини діляться на дискретні і безперервні.
Дискретної випадковою величиною називається випадкова величина приймаюча лише рахункове число значень. Дискретну випадкову величину зручно задавати у вигляді таблиці
В
де - ймовірність того, що випадкова величина прийме значення при.
Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називається число =.
Властивості математичного сподівання
1. p> 2. p> 3. . br/>
Дисперсією дискретної випадкової величини називається число
В
Властивості дисперсії
1. p> 2. p> 3. . br/>
середньоквадратичного відхилення називається число.
Функцією розподілу випадкової величини називають функцію.
Властивості функції розподілу
1. . br/>
2. Функція неперервна ліворуч.
3. Функція монотонно зростає.
Випадкова величина називається безперервної, якщо неперервна її функція розподілу. Щільністю розподілу випадкової величини називають функцію, задовольняє таким умовам
1. p> 2. p> 3. br/>
Для безперервних випадкових величин математичне сподівання визначається як число. Для дисперсії формула залишається колишньою.
На практиці найчастіше зустрічаються наступні види розподілів
1. Біноміальний, де випадкова величина приймає значення з імовірностями.
2. Геометричне, де випадкова величина приймає значення з імовірностями
3. Нормальна, де щільність розподілу має вигляд
В
4. Рівномірний, де щільність розподілу має вигляд
В
Література
1. Вища математика для економістів: Підручник для вузів/За ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2003. p> 2.Е.С. Кочетков, С.О. Смерчінская Теорія ймовірностей у задачах і вправах/М. ИНФРА-М 2005.
3. Вища математика для економістів: Практикум/За ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2004.Ч1, 2
4. Гмурман В.Є. Керівництво вирішення завдань з теорії ймовірностей та математичної статистики. М., Вища школа, 1977
5. Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика. М., Вища школа, 1977
6. М.С. Красс Математика для економічних спеціальностей: Підручник/М. ИНФРА-М 1998.
7. Вигодський М.Я. Довідник з вищої математиці. - М., 2000. p> 8. Берман Г.Н. Збірник задач з курсу математичного аналізу. - М.: Наука, 1971. p> 9.А.К. Казашев Збірник завдань з вищої математики для економістів - Алмати - 2002
10. Піскунов Н.С. Диференціальне та інтегральне числення. - М.: Наука, 1985, Т1, 2. p> 11.П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников Вища математика у вправах і завданнях/М. ОНІКС-2005.
12.І.А. Зайцев Вища математика/М. Вища школа-1991
13. Головіна Л.І. Лінійна алгебра і деякі її застосування. - М.: Наука, 1985. p> 14. Замків О.О., Толстоп'ятенко А.В., Черемних Ю.Н. Математичні методи аналізу економіки. - М.: ДІС, 1997. p> 15. Карасьов А.І., Аксютіна З.М., Савельєва Т.І. Курс вищої математики для економ...
