математичного очікування дорівнює нулю:
М [Х - М (Х)] = 0. (4)
6. Математичне сподівання середнього арифметичного значення п однаково розподілених взаємно незалежних випадкових величин дорівнює математичному очікуванню кожної з величин:
. (5)
Випадкові дискретні величини називаються однаково розподіленими, якщо у них однакові ряди розподілу, а отже, й однакові числові характеристики.
Нехай Х1, Х2, ..., Хn - однаково розподілені випадкові величини, математичні сподівання кожній із яких однакові і рівні а. Тоді математичне сподівання їх суми одно nаі математичне сподівання середньої арифметичної дорівнює а:
.
Очікуване середнє значення функції випадкової величини очікуване середнє значення можна обчислювати як функцію випадкової величини. Нехай h (X) - функція випадкової величини X. Очікуване значення функції дискретної випадкової величини:
(6)
Функція h (X) може бути будь-який, наприклад X 2,3 Х 4, logX. Розберемо простий приклад, коли h (X) - лінійна функція від X, тобто h (X) = аХ + b, де а, b - числові параметри.
Очікуваний щомісячний дохід від продажів продукції становить 5400 умовних грошових одиниць. Для лінійної функції випадкової величини обчислення M [(h (x)] можна спростити, так як з властивостей математичного сподівання випливає, що
M (аХ + b) = Аm (Х) + b,
де a, b - числові параметри.
Формула (5) підходить для будь-яких випадкових величин як дискретних, так і безперервних.
Дисперсія дискретної випадкової величини
Дисперсія випадкової величини є математичне сподівання квадрата відхилення значень випадкової величини від її математичного очікування.
Пѓ2 = D (X) = M {[X - M (X)] 2} = [xi - M (X)] 2P (xi). (7)
Ймовірності значень випадкової величини відіграють роль ваг (частот) при обчисленні очікуваних значень квадратів відхилень дискретної випадкової величини від середньої. За формулою (7) дисперсія обчислюється шляхом вирахування математичного очікування з кожного значення випадкової величини, потім зведення в квадрат результатів, множення їх на ймовірності Р (хi) і складання результатів для всіх хi.
Для прикладу 3.1 (про рекламних оголошеннях, розміщуваних в газеті в певний день) дисперсія обчислюється так:
Пѓ2 = [xi-M (X)] 2P (xi) = (0-2,3) 2 + (1-2,3) 2 + (2-2,3) 2 + (3-2,3) 2 + (4-2,3) 2 + (5 - 2,3) 2 = 2,01. br/>
Властивості дисперсії дискретної випадкової величини
Дисперсія дискретної випадкової величини має такі властивості.
1. D (C) = 0,
де C - постійна величина.
2. D (C в€™ X) = C в€™ D (X),
де C - постійний множник.
3. Для кінцевого числа nнезавісімих випадкових величин:
D (X1 В± Х2 В± ... В± Xn) = D (X1) + D (X2) + ... + D (Xn). (8)
4. Якщо Х1, Х2, ..., Хn - однаково розподілені незалежні випадкові величини, дисперсія кожної з яких дорівнює Пѓ2 (Хi), то дисперсія їх суми дорівнює пПѓ2, а дисперсія середньої арифметичної дорівнює Пѓ2/п:
Пѓ2/п. (9)
Для обчислення дисперсії простіше користуватися іншою формулою, отриманої шляхом нескладних математичних викладок:
D (X) = M [X - M (X)] 2 = M [X2 - 2M (X) X + M (X) 2] =
M (X) 2-2M (X) M (X) + [M (X)] 2 = M (X2) - [M (X)] 2 = M (X 2) - М 2 (Х). br/>
Таким чином, Пѓ2 = D (X) = M (X2) - М2 (Х). (10)
Дисперсія лінійної функції випадкової величини
Для випадкової величини, заданої лінійною функцією аХ + b, маємо
D (A в€™ X + b) = a2 в€™ D (X) = a2 в€™ Пѓ2. (11)
За формулою (11) знайдемо дисперсію очікуваного доходу для прикладу 3. Дохід заданий функцією 2Х-8000. Знаходимо M (X2) = 50002 в€™ 0,2 + 60002 в€™ 0,3 + 70002 в€™ 0,2 + 80002 в€™ 0,2 + 90002 в€™ 0,1 = 4650000. М (Х) = 6700. Звідси дисперсія D (X) = M (X2) - [М (Х)] 2 = 46 500 000 - 67 002 = 1610000. Використовуючи формулу (11), обчислимо дисперсію очікуваного доходу: D (Х) = Пѓ2 = 22 в€™ 1 610 000 = 6 440 000. Середнє квадратичне відхилення доходу дорівнює
Випробування Бернуллі - це послідовність n ідентичних випробувань, що задовольняють таким умовам:
1. Кожне випробування має два результати: успіх і неуспіх - взаємно несумісні і протилежні події.
2 Ймовірність успіху р залишається постійною від випробування до випробування. Ймовірність неуспіху q = 1-р. p> 3. Всі n випробувань - незалежні. Імовірність настання події в будь-якому з випробувань не залежить від результатів інших випробувань.
Успіх і неуспіх - статистичні терміни. Наприклад, коли мають справу з виробничим процесом, то результат випробування В«деталь дефектнаВ» визначають як успіх. Успіх ставиться до появи певної події - В«деталь дефектнаВ», а неуспіх відноситься до непо...
