Відповідь. Шукане рівняння площини
Задача 12. Знайти відстань від точки М (a, b, c) до площини, відтинає на осях координат відрізки a, b і з
Рішення:
Рівняння площини у відрізках.
В
Знайдемо відстань від точки до цієї площини.
.
Відповідь. Шукане відстань одно. br/>
Задача 13. Знайти кут між прямою і прямої, що проходить через точку М (1, -1, -1) і початок координат
Рішення:
1) Знаходимо координати двох точок і, що лежать на прямій, заданої у вигляді системи. Підставивши в систему
,
отримаємо систему
.
З першого рівняння. Підставляємо z = 0,5 в друге рівняння: y = 1 +2 Г— 0,5 = 2. Таким чином, координати точки. p> Підставивши в систему
, отримаємо систему.
З першого рівняння. З другого рівняння. Таким чином, координати точки. p>) Координати напрямних векторів прямих
;.
3) Косинус кута між прямими дорівнює
.
В
Відповідь. Кут між прямими дорівнює
Задача 14. Знайти проекцію точки А (3, 1, -1) на пряму x = y = z
Рішення:
1) Якщо рівняння прямої записано у вигляді, то - спрямовує вектор даної прямої. З рівняння видно, що спрямовує вектор. p> Підставимо в рівняння замість координати, замість координати. Отримаємо рівняння
.
) Запишемо рівняння прямої x = y = z в параметричному вигляді. Для цього прирівняємо до параметру всі співвідношення x = y = z = t. p> Отримаємо систему.
Підставимо отримані вирази в рівняння площини з пункту 1.
Отримаємо для рівняння.
Із системи,
при отримуємо.
Координати проекції.
Відповідь. Координати проекції. br/>
Задача 15. Написати рівняння площини, що проходить через пряму l: (x - 1)/1 = (y + 1)/2 = (z + 2)/2 і перпендикулярно до площини р: 2x + 3y - z = 4
Рішення:
1) Якщо рівняння прямої записано у вигляді, то - спрямовує вектор даної прямої. З рівняння видно, що спрямовує вектор прямої. p> Якщо дано рівняння площини у вигляді, то координати нормального вектора Таким чином, до площини нормальний вектор
) Позначимо координати нормального до шуканої площини вектора З умов, випливає, що дорівнюють нулю скалярні твори,. Тобто координати задовольняють системі рівнянь
.
Помножимо друге рівняння на -2 і скласти обидва рівняння:
В
.
Таким чином,. З другого рівняння системи. Якщо взяти, отримаємо координати нормального вектора
) Щоб знайти точку, що лежить на шуканої площини, знайдемо будь-яку точку, що лежить на прямій (так як пряма належить шуканої площини). Підставляючи в рівняння значення, отримаємо рівності, звідки,. Таким чином, координати точки. p>) Искомо...
